数学の問題でよく出てくる「毎年度初めに積み立ててn年度末の元利合計を求める」という問題は、複利計算と等比数列を活用する問題です。この問題では、複利がどのように働くのか、そして積み立てた金額がどのように増えていくのかを理解することが重要です。この記事では、この問題を解くためのステップをわかりやすく解説します。
複利計算とは？
複利計算は、元本に対して利息がつくのではなく、利息にも利息がつく計算方法です。例えば、年利5%で100万円を1年間預けた場合、利息は100万円 × 5% = 5万円となり、元本は105万円になります。2年目以降も105万円に対して利息がつくため、複利効果で元本が増えていきます。
このように、毎年利息が元本に追加され、次の年の利息計算に影響を与えるため、長期間預けるほど利息が大きくなるのが特徴です。
「毎年度初めに積み立てる」とは？
問題で「毎年度初めに積み立てる」とは、毎年一定額を元本に追加していくという意味です。例えば、毎年初めに1万円を積み立てるとします。この1万円は、1年目は複利がつかず元本の一部として加算されますが、2年目からはその1万円にも利息がつくことになります。
複利計算では、このように元本に加算された積立額が次の年度で再び利息を生むため、最終的に元利合計が大きく増えることになります。
積み立て金額と元利合計の計算
毎年度初めに積み立てた金額が、複利効果でどれくらい増えるかを計算するためには、積立額、年利、年度数に基づいた計算を行います。このような積立を累積していくときに現れるのが等比数列です。
例えば、年利5%で毎年1万円を積み立てる場合、最初の年の元本は1万円、2年目の元本は1万円 + 1万円 × 1.05（5%の利息）になります。このように、積み立てた金額に対して利息がついていくため、元利合計が増えていきます。
等比数列の利用
この問題において、元利合計は等比数列の和として表現することができます。例えば、毎年一定額を積み立て、複利がつく場合、元利合計は次のように求められます。
元利合計 = 積立額 × ((1 + 年利) ^ 年数 – 1) / 年利
ここで、積立額は毎年の積み立て額、年利は複利の利率、年数は積み立て期間です。この式を使うことで、複利がついた元利合計を簡単に計算することができます。
実際の例と計算
例えば、年利5%、毎年1万円を10年間積み立てた場合、元利合計を求めてみましょう。積立額1万円、年利5%、期間10年の場合、次のように計算できます。
元利合計 = 10000 × ((1 + 0.05) ^ 10 – 1) / 0.05 = 10000 × (1.6289 – 1) / 0.05 = 10000 × 0.6289 / 0.05 = 125,780円
このように、複利がつくことで、元本よりも多くの利息がつくことがわかります。
まとめ
「毎年度初めに積み立てる」という問題は、複利計算と等比数列を使って解くことができます。積み立てた金額に対して利息がつき、その利息も次の年に再び利息を生むため、最終的に元利合計が大きく増えます。これらの数学的な計算方法を理解することで、複利効果の強さを実感できるようになります。
コメント