中点の軌跡の求め方と式変形の理解：点Pと点Aを結ぶ線分の中点M

数学の問題で、点Pが円上を動くときの中点Mの軌跡を求める問題に直面した際に、式変形が理解できないことがあります。この記事では、点Pと点A（6,0）を結ぶ線分の中点Mの軌跡を求める方法を解説し、式変形がなぜ行われるのかをわかりやすく説明します。

問題の整理と中点の座標

まず、点P(a, b)が円x² + y² = 4上を動いているという状況を考えます。この円の半径は2で、原点(0,0)を中心にしています。点Aは座標(6,0)にあり、点Pと点Aを結ぶ線分の中点Mを求める問題です。

中点Mの座標は、2つの点P(a, b)と点A(6, 0)の座標を平均した値として求められます。中点の公式は、x座標とy座標それぞれに適用されます。

中点Mの座標(x, y)は、次のように計算できます。

x = (a + 6) / 2, y = (b + 0) / 2

ここで、式変形を行う理由を考えましょう。問題では、x = (a + 6) / 2とy = b / 2という式が与えられていますが、この式は中点の座標公式を使って計算した結果です。

問題の中で出てきた式「x = (a + 6) / 2」や「y = b / 2」を使うと、aやbをxやyに関して表すことができます。

まず、x = (a + 6) / 2の式を変形してaを求めます。両辺を2倍すると、2x = a + 6となり、最後にa = 2x – 6と求められます。同様に、y = b / 2からb = 2yと求めることができます。これにより、aとbをxとyに関して表すことができました。

次に、a = 2x – 6とb = 2yを元の円の方程式に代入して、中点Mの軌跡の方程式を求めます。元々の円の方程式はx² + y² = 4です。ここにaとbを代入すると、新しい方程式が得られます。

この計算を行うことで、点Mの軌跡が求められます。このように、式変形を行うことで、問題が解けるようになります。

「点Pと点Aを結ぶ線分の中点M」の問題では、中点の公式を使い、座標をxやyに関して表すために式変形を行います。この式変形のステップを理解することで、より複雑な数学の問題も解けるようになります。中点の軌跡を求める問題は、公式の理解と計算の流れを覚えることで、スムーズに解くことができます。