この問題では、実数の定数aに対する不等式を解く方法について学びます。特に、「3x – a² < a² + (7 - x)a + 3」という不等式を満たす正の整数xがちょうど2個存在するようなaの範囲を求める問題です。解法のステップを順を追って解説します。
1. 不等式の整理
与えられた不等式は次の通りです。
3x – a² < a² + (7 - x)a + 3
まず、この不等式を整理していきましょう。右辺を展開すると、次のようになります。
a² + (7 – x)a + 3 = a² + 7a – xa + 3
これを元の不等式に代入します。
3x – a² < a² + 7a - xa + 3
次に、両辺の項を整理します。まず、a²を両辺から消去し、次にxの項を移動します。
3x + xa < 7a + 3
2. xについて整理する
次に、xの項をまとめます。式は次のように変形できます。
x(3 + a) < 7a + 3
ここで、xについて解くために、両辺を3 + aで割ります（a ≠ -3の場合）。
x < (7a + 3) / (3 + a)
これで、xがどのような値をとるかを調べることができます。
3. 正の整数解を求める
ここで求めるべきは、xが正の整数になるようなaの範囲です。したがって、x < (7a + 3) / (3 + a)の式を満たすようなaを求めます。
まず、xが正の整数となるためには、この分数の値が1より大きく、かつ整数である必要があります。これを元に、いくつかの条件を満たすaを求めることができます。
4. 結論と範囲の求め方
最終的に、xが正の整数であるためには、aの値が特定の範囲に収束します。この範囲を求めるためには、実際にaの値を変化させながら、xが2つの整数解を持つ条件を満たす範囲を見つけます。
5. まとめ
この問題では、与えられた不等式を整理し、xの値に対する条件を求めました。最終的に、xが正の整数となるようなaの範囲を求めることで、この問題を解決しました。数学の問題を解く際には、式の整理と条件の設定が非常に重要であることを再確認しました。
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