数Bの黄色チャート例題8の問題では、与えられた範囲内で、11を分母とする既約分数の総和を求めることが求められています。この記事では、模範解答とその過程を解説し、疑問に思った部分をどのように解決するかについて考えます。
問題の背景：4と25の間にある11を分母とする既約分数
問題のポイントは、「4と25の間にあって、11を分母とする既約分数の総和を求める」という部分です。この問題では、まず4から25までの範囲内において、分母が11の既約分数をリストアップし、それらの和を計算します。
さらに、模範解答では、4から25までの整数に対して、11で割ってできる既約分数を求め、その総和を計算します。この過程で、補集合の考え方を使って、既約分数でない数を除外することが重要なステップとなります。
模範解答とその計算過程
模範解答では、まず「4〜25までの整数」の和を計算し、その後、「5〜24の既約分数でない整数の和」を求めます。この2つの和を引くことで、求めるべき既約分数の総和を得るという方法です。
具体的には、4から25の範囲内で、11を分母にした数値をリストアップし、その総和を求めます。これにより、既約分数の総和が得られます。
補集合の考え方と直接計算
質問者が疑問に思っているのは、補集合を使わずに直接計算できないのかという点です。補集合の考え方を使わずに、11で割った数列（55/11, 66/11, 77/11, … , 264/11）を直接計算すると、確かに3045という結果が得られます。
この数列の和は等差数列の和として求めることができ、計算結果は3045となります。ただし、この方法で計算した場合、既約分数でない整数が含まれてしまうため、正確な総和にはなりません。
分数を約分した後の数列との関係
質問者が指摘しているように、数列55/11, 66/11, 77/11, … , 264/11を約分すると、5, 6, 7, … , 24の整数になります。確かに、これらの整数を足し合わせた場合、290という結果が得られますが、この計算は既約分数でない部分を除外していないため、完全な解答にはならないのです。
したがって、計算式が一致しない理由は、約分後の整数だけを足しているからであり、この方法では既約分数を正確に求めることはできません。
まとめ：正確な計算方法と考え方
問題を解くための正しい方法は、まず4から25までの整数をリストアップし、その中で11を分母とした既約分数のみを考えることです。補集合の考え方を使って、既約分数でない数を除外する方法が最も効率的です。
直接計算を行う方法では、既約分数でない部分を考慮しないと、正確な答えにはならないため、補集合を使った方法が推奨されます。問題の意図を理解した上で、計算の過程をしっかり確認することが大切です。
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