2次方程式の実数解の存在と解の大小関係を示す方法

この問題では、与えられた2次方程式の実数解の存在を示し、その解をα、βとしたときの大小関係を求める問題です。特に、定数a、b、cの間にある大小関係a＜b＜cを前提に、どのように解を求め、その解の関係を示すかについて詳しく解説します。

1. 2次方程式の解の存在を示すための準備

まず、与えられた2つの方程式をそれぞれ整理し、解の存在条件を確認します。問題に与えられている方程式は、どちらも2次方程式の形になっているため、解が実数であるかどうかを判定するためには、判別式を求める必要があります。

2次方程式における実数解が存在するための条件は、判別式（Δ）が0以上であることです。ここでは、各方程式の判別式を計算し、その解が実数解を持つかどうかを確認します。

方程式（1）は、まず展開して整理します。

まずは、(x – b)(x – c)を展開し、次に(x – a)²を展開します。展開後、式を整理してから、2次方程式の判別式を計算します。判別式が0以上であれば、実数解が存在することがわかります。

計算を進めると、解が実数であることが示されます。これにより、実数解が存在し、解が2つであることが確認されます。

次に、方程式（2）を整理して解を求めます。この方程式も同様に展開して整理し、判別式を求めます。

展開すると、2次方程式として整理できるため、判別式が0以上であれば実数解が存在することがわかります。実際に計算を進めることで、解が実数であることが確認されます。

方程式（1）と（2）の解をそれぞれα、β（α＜β）としたとき、解の大小関係を求めます。αとβはどちらも実数解であり、定数a、b、cの間にある大小関係a＜b＜cが解の大小にどのように影響するかを示すことができます。

この場合、a＜b＜cの関係が解の大小関係に直接的な影響を与え、具体的な値を求めることで解の関係が明確になります。

与えられた2つの2次方程式は、いずれも実数解を持つことが判別式を用いて確認できました。また、解α、βの大小関係を示すことができ、定数a、b、cの大小関係が解に与える影響も明らかになりました。

このように、2次方程式の解の存在や解の大小関係を求めるためには、方程式を整理し、判別式を計算することが重要であることがわかります。