大学数学

偏微分方程式は、複数の変数に関する微分を扱う重要な数学的手法であり、物理学や工学、経済学など様々な分野で広く使用されています。今回は、具体的な偏微分方程式「yzu∂u/∂x + zxu∂u/∂y + xyu∂u/∂z = xyz」の解法につ...

自然対数eという数は、数学の中で非常に重要な定数です。実は、このeは「ネイピア数」とも呼ばれていますが、どうしてこの2つが同じものなのか、よくわからないという方も多いかもしれません。この記事では、ネイピア数と自然対数eが同じである理由を、で...

ベクトル解析における「面積ベクトル」とは、ベクトルの大きさと方向を用いて図形の面積を表現する手法です。この概念は、特に物理学や工学でよく使われますが、初めて学ぶ方にとっては理解が難しい部分もあります。この記事では、マセマ出版社「ベクトル解析...

この問題では、文脈自由文法 G = ({S}, Σ, P, S) によって生成される言語 L(G) = {0^n 10^n | n ≥ 0} が正則言語でないことをポンピング補題を用いて証明します。まずはポンピング補題の基本的な概念と、それ...

3次剰余の相互法則は、数論や代数学の分野で重要な定理の一つです。この法則を証明する際、虚数を使わざるを得ない理由は、整数の剰余演算の性質や法則の関係に深く関わっています。この記事では、なぜ虚数がこの証明に必要となるのかを理解するために、3次...

群論において、群Gを2つの元aとbで生成される群〈a,b〉としたとき、その群の位数を求める問題は非常に興味深いものです。特に、a^2 = b^2 = (ab)^4 = e という条件が与えられた場合、群Gの位数が8以下であることを示すために...

微積分における基本的な定義と、dyの導出について疑問を持つことはよくあります。特に、Δxとdxの違いについて理解することは重要です。この記事では、なぜΔxが使われるのか、またdxをいきなり使ってもよいのか、そしてlim(Δx→0)の意味につ...

関数 f(x, y) = (x²・y²) / ((x - 1)(y - 1)) の極値を求めるには、微分を利用してその変動を調べる必要があります。この記事では、この関数の極値を求める方法を段階的に解説します。具体的には、偏微分を使って臨界点...

代数学の基本定理は、数学の中でも非常に重要な位置を占めています。この定理は、特に多項式の解の存在に関して重要な知見を与えており、数多くの数学的問題に役立っています。この記事では、代数学の基本定理が何の役に立つのか、その重要性と応用について解...

全微分方程式は、3つの変数を持つ複雑な微分方程式を解くために利用されます。今回は、次の全微分方程式を解く方法について解説します：y(1+z²)dx - x(1+z²)dy + (x² + y²)dz = 0。このような式を解くための手順とコ...