大学数学

本記事では、関数 Xlog(1－X) の n 次導関数の求め方について解説します。n は 2 以上の任意の自然数とし、このような多項式の導関数を求める際に必要となるテクニックをステップバイステップで説明します。微分を繰り返し行うことで導関数...

4次元空間内の球体を切断したときの断面が何次元空間の球体になるかを考えることは、次元の概念を深く理解するための良い練習になります。この記事では、3次元空間の球体と4次元空間の球体の切断について考え、その答えを導きます。次元空間の切断とは？次...

微積分におけるテイラー展開は、関数をその点での近似値として展開する強力な手法です。今回は、与えられた関数のx=0でのN次有限テイラー展開を求める問題について、各関数に対する展開方法を解説します。テイラー展開とは？テイラー展開は、関数をある点...

測度論における問題として、単調増加関数 F(x) に関して、いくつかの性質とその証明を行う問題について解説します。F(x) はすべての有限区間において絶対連続であるという前提から、導関数が存在することや、関数とその導関数との関係がどのように...

n 次正方行列 X が正則であるとは、行列 X が逆行列を持つことを意味します。逆行列を持つ行列は、行列式が 0 でないという特徴を持っており、この性質を論理記号を使って表現する方法について解説します。正則行列とは？正則行列とは、逆行列を持...

線形代数を学ぶ上で、基本的な定理や理論だけでなく、正値や極分解など、より高度な内容に触れることは重要です。特に授業で細かい内容まで使う場合、その理解を深めるための参考書が必要になります。この記事では、そんな高度な内容を学べる線形代数の参考書...

ラドン＝ニコディムの定理は、測度論における重要な定理であり、測度μとνがσ有限でν＜＜μであるとき、任意の可測集合Aに対してμに関して局所可積分な非負可測関数fが一意的に存在することを示します。この記事では、この定理の条件を取り外した場合に...

大学数学で、実数全体Rから有理数Qを除いた集合R-Qが同濃度であることを証明する問題は、集合論の重要な課題の1つです。この問題を解決するためには、全単射な写像を構成する方法が求められます。以下では、この証明を具体的にどのように進めていくかを...

3x3行列の逆行列を求めるには掃き出し法（ガウス・ジョルダン法）を使用することができます。逆行列を求める過程で行うべき手順と、それに必要な計算方法について、具体的に解説します。以下では、行列を例にとって、どのように進めるかを詳しく説明します...

角度の定義について、従来の「弧の長さ÷半径」に代わり、「扇形の面積÷半径の2乗」を用いることができるのか？この問題に対して、数学的にどのような理論的背景があるのかを考察します。1. 角度の定義と従来のアプローチ一般的に、角度は「弧の長さ÷半...