大学数学

この問題は、袋の中にある玉を取り出すゲームの期待値と、参加費を超える金額がもらえる確率を求めるものです。具体的な設定として、袋の中に赤玉3個、緑玉2個、青玉1個が入っており、取り出した玉の組み合わせに応じて金額が支払われます。ここではその計...

この問題は、袋の中にある赤玉、緑玉、青玉を取り出し、その組み合わせによってもらえる金額を計算するものです。袋の中には赤玉3個、緑玉2個、青玉1個が入っており、それぞれの玉に対応する金額が決まっています。このゲームの期待値と、参加費より高い金...

固有ベクトルの導出は、線形代数の基本的な概念の一つであり、行列とその固有値に関連しています。今回は、以下の行列について、固有値λ=1に対する固有ベクトルを求める方法を解説します。行列は次のようになります：1 3 -10 -2 10 -4 3...

この問題では、複素数体Cの部分体F、Kについて、Q上の超越次数が高々加算であることを前提に、FからKへの体の同型写像σが複素数体Cの自己同型τに拡張されることを示す問題です。ここでは、問題の背景となる理論と解法の手順を解説します。問題の整理...

数学の問題で、関数 y = x²cos(x) の第n次導関数を求めるという課題に直面することがあります。ここでは、その求め方を段階的に解説します。微分の基本的な手法から、より複雑な高次導関数まで、実際にどのように進めるかを具体的な例を使って...

行列式の計算では、行列の変形や余因子展開を使う場面がよくあります。しかし、問題の中で行われている変形に誤りがあることがあります。この記事では、行列式の計算における誤った変形の原因と、正しい方法を説明します。行列式の計算における余因子展開行列...

この問題では、Kを有理数体Qのn次拡大体としたとき、Kが1のべき乗根をm個持つときに、m≦2n²が成り立つことを示す方法について解説します。数学的な理論に基づいて、証明を行うためのステップとその背景を理解することが求められます。1. 拡大体...

この問題では、位相空間Xの直積空間X²における対角線集合⊿ = {(x, x) | x ∈ X}について、X²がハウスドルフ空間であることと、⊿がX²の閉集合であることが同値であることを証明します。証明の過程を丁寧に解説し、重要な概念を順を...

集合の差と積、和について、ある等式が成り立つことを証明する問題がよく出題されます。今回は、「A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)」の式について、集合が等しいことの定義に基づいて証明する方法を解説します。集合の定義と...

数学の微分において、ライプニッツの法則を使用して関数のn次導関数を求める際に、場合分けをする必要があることがあります。ここでは、x²log(1+x)のn次導関数をライプニッツ法則で求める際になぜ場合分けが必要なのか、その理由と解法の手順につ...