大学数学

大学の数学では、群の概念を理解することが重要です。特に、有理数の乗法に関する群や、特定の集合が群の部分群になるかどうかを証明する問題はよく出題されます。この記事では、Q*（有理数の0を除いた集合）が群になることを証明し、その後Q*が群Sの部...

日本の成人女性の平均身長は約159cmと言われていますが、身長の分布が正規分布である場合、特定の範囲に含まれる人数がどのように分かれるのかを考えることは興味深い問題です。この記事では、身長が140-142cmの女性と176-178cmの女性...

双曲線関数は、指数関数を使って表現することができます。このような表現方法は、数学のさまざまな分野で利用されており、特に微分方程式や物理学などで重要な役割を果たします。この記事では、双曲線関数の三つの公式がどのようにして導出されるのかを解説し...

無理方程式において、虚数の累乗根を扱わない理由は、累乗根が複数個存在するためです。特に複素数の範囲では、n乗根は一般にn個の解を持つため、その取り扱いがややこしくなることがあります。この記事では、なぜ無理方程式で虚数の累乗根に触れないのか、...

本記事では、n次元複素数ベクトル空間から複素トーラスへの被覆写像とその被覆変換群が、2n次元ユークリッド空間の格子と同型であることを証明します。被覆写像とその群の定義まず、被覆写像とその群の基本的な定義を確認しましょう。被覆写像とは、ある空...

与えられた式「√(a + √b) + √(c + √d) + …」が有理数となるための条件を求める問題について解説します。このような複雑な式を有理数として成立させるために必要な条件を理解し、その解を求める方法について詳しく説明します。問題の...

結び目理論における八の字結び目（またはボーリンクノット）は、1 + z²という式に関連しています。この記事では、八の字結び目がなぜこのような形になるのか、その途中式や計算方法について詳しく解説します。結び目理論の基本と八の字結び目結び目理論...

確率論において、条件付き確率は非常に重要な概念です。この問題では、「条件付き確率p(x + y | x)が、xとyが独立であるときp(y)に等しいことを証明せよ」という問いに対して、どのように解くかを解説します。独立性の概念を理解し、条件付...

カテゴリ理論やトポス理論を学び進める過程で、Lurieの『Higher Topos Theory』は重要な参考文献となります。この本は高次のトポス理論に関する深い洞察を提供しますが、その内容を理解するためには前提となる数学的な知識や理論への...

大学の数学の授業が進行する速度や前提知識の取り扱いについて、多くの学生が疑問に思うことがあります。特に、京大のようなトップ大学では、外積の知識を前提に授業が進められることがあり、初めて触れる学生には戸惑いが生じることもあるでしょう。本記事で...