大学数学

この問題では、位相空間Xの直積空間X²における対角線集合⊿ = {(x, x) | x ∈ X}について、X²がハウスドルフ空間であることと、⊿がX²の閉集合であることが同値であることを証明します。証明の過程を丁寧に解説し、重要な概念を順を...

集合の差と積、和について、ある等式が成り立つことを証明する問題がよく出題されます。今回は、「A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)」の式について、集合が等しいことの定義に基づいて証明する方法を解説します。集合の定義と...

数学の微分において、ライプニッツの法則を使用して関数のn次導関数を求める際に、場合分けをする必要があることがあります。ここでは、x²log(1+x)のn次導関数をライプニッツ法則で求める際になぜ場合分けが必要なのか、その理由と解法の手順につ...

数学の問題で、√(x²+2) のn次導関数をライプニッツの公式を使って漸化式の形で求める問題があります。ここでは、その解法のステップと、x=0 の時のn次導関数の求め方について解説します。ライプニッツの公式を用いる理由ライプニッツの公式は、...

数学の学習において、微分方程式は他の分野と比べて非常に異なる感覚で学ぶ必要があります。特に、微分方程式を学んでいると、これまで学んだ内容と全く違う感覚を感じることが多いです。今回は、微分方程式が難しく感じる理由と、その克服方法について解説し...

行列のn乗を計算する際に、対角化可能な行列を使う方法があります。問題は、なぜP⁻¹APがAと同値な行列となり、同じ結果が得られるのかという点です。この記事では、その理由を詳しく解説します。行列の対角化とは？行列の対角化とは、ある行列AをP⁻...

今回は「バスで嘔吐する確率」についての問題を解説します。問題を整理し、確率の計算方法をステップごとに説明します。問題の設定まず、問題の設定を整理します。小型バスに乗車する乗客の中で、過去に12回の乗車中1回だけ嘔吐したケースがあり、残りの2...

数理計画や数理最適化の学習は、高校生から大学1,2年生にとっても非常に有益であり、数学的思考を深めるために欠かせない分野です。この記事では、線形計画やネットワーク計画など、数理計画モデルを学べる参考書をいくつか紹介し、どのように効果的に学習...

大学の幾何学Ⅰの授業で出題された「集合A, B, C に対して、(A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C) となる例を一つ挙げよ」という問題について解説します。この問題は、集合の差集合に関する基本的な理解を深めるための重要な問題です...

集合Xと集合Yに関して、XからYへの関数や単射の数を求める問題は、数学の集合論や関数の基礎に関わる重要なテーマです。今回は、集合Xがm個の要素、集合Yがn個の要素からなる場合の関数の通り数と単射の通り数をどのように求めるかを解説します。1....