大学数学

行列の演算において、(A+B)² = A² + AB + BA + B² と習ったことがあるかもしれません。この式は一見すると、普通の数式の展開のように見えますが、行列の場合は少し異なる取り扱いが必要です。この記事では、(A+B)² を直接...

実数xに対してy = 1/xの対応が関数として成り立つのかについて考えることは、数学における基本的な概念であり、非常に重要な問題です。この記事では、y = 1/xが関数であるかどうかを明確に理解し、どのように定義されるのかを解説します。関数...

数学の問題において、図形を覆い隠すという問題は非常に興味深いテーマです。特に、正三角形をより小さい正三角形で覆い隠せないという問題は、鳩の巣原理を使って解くことができます。この記事では、この問題を鳩の巣原理を使って解説します。鳩の巣原理の基...

R^nにおける距離の性質に関する問題では、異なる点同士の距離がどのように計算されるかを理解することが重要です。この記事では、x=(x1,x2,...,xn) と y=(y1,y2,...,yn) が R^n の元であるとき、距離 d(x,y...

位相空間論では、集合が開集合か閉集合かを確認することが重要な問題です。この記事では、R^nにおける開集合と閉集合に関する2つの問題を解説します。 1. 開集合の定義と証明方法 まず、開集合の定義を復習します。R^nの中で、ある集合が開集合で...

微分方程式は、数学や物理学、工学など多くの分野で重要な役割を果たしています。ここでは、次のような微分方程式を解いていきます。x(2x-1)y' + y² - (4x+1)y + 4x = 0。この方程式を解く過程を、具体的なステップを追いな...

結び目理論は、数学の中でも非常に興味深い分野であり、結び目や絡み目がどのように変形するかを研究します。その中で「向きの可逆性」という概念が登場しますが、この問いには直感的に答えるのは難しい部分もあります。本記事では、結び目理論における向きの...

大学数学では、抽象的な概念や複雑な定義が数多く登場します。これらの概念が意味するものやその背後にある理論を理解することは、数学を学ぶ上で非常に重要です。この記事では、大学数学の基本的な概念についてわかりやすく解説し、理解を深めるためのアプロ...

この記事では、実数値関数f(t)とg(t)に関する定積分の等式が成り立つ場合に、f(t)とg(t)が等しいことを証明する方法を解説します。特に、任意の複素数sに対して次の式が成り立つとき、f(t) = g(t)が成立する理由を詳しく説明しま...

ラプラス変換は、線形微分方程式の解法や制御理論などで広く使用されている数学的手法です。しかし、逆ラプラス変換を手動で計算するのは複雑な場合もあります。本記事では、具体例としてF(s) = 6/(s-3)⁴ の逆ラプラス変換を求める方法を解説...