大学数学

群論において、群Gを2つの元aとbで生成される群〈a,b〉としたとき、その群の位数を求める問題は非常に興味深いものです。特に、a^2 = b^2 = (ab)^4 = e という条件が与えられた場合、群Gの位数が8以下であることを示すために...

微積分における基本的な定義と、dyの導出について疑問を持つことはよくあります。特に、Δxとdxの違いについて理解することは重要です。この記事では、なぜΔxが使われるのか、またdxをいきなり使ってもよいのか、そしてlim(Δx→0)の意味につ...

関数 f(x, y) = (x²・y²) / ((x - 1)(y - 1)) の極値を求めるには、微分を利用してその変動を調べる必要があります。この記事では、この関数の極値を求める方法を段階的に解説します。具体的には、偏微分を使って臨界点...

代数学の基本定理は、数学の中でも非常に重要な位置を占めています。この定理は、特に多項式の解の存在に関して重要な知見を与えており、数多くの数学的問題に役立っています。この記事では、代数学の基本定理が何の役に立つのか、その重要性と応用について解...

全微分方程式は、3つの変数を持つ複雑な微分方程式を解くために利用されます。今回は、次の全微分方程式を解く方法について解説します：y(1+z²)dx - x(1+z²)dy + (x² + y²)dz = 0。このような式を解くための手順とコ...

全微分方程式は、複数の変数を持つ微分方程式を解くための基本的な手法です。今回は次の全微分方程式を解く方法について解説します：2yzdx - 2zxdy - (x² - y²)(z - 1)dz = 0。この式を解くための手順を一つ一つ説明し...

全微分方程式は、複数の変数に依存する関数の微分を扱う方程式であり、物理学や工学などの分野で重要な役割を果たします。ここでは、与えられた全微分方程式(2x^2y+1)dx + x^4dy + x^2tan(z)dz = 0の解法を詳しく解説し...

無限桁の数、例えば0.1...（無限小数）の概念は数学で非常に興味深いものです。特に、異なる桁数を持つ0.1...が同じ値を持つ理由や、その根拠については多くの学生が疑問を抱くポイントです。この記事では、無限桁数に関する等式が成立する理由と...

今回取り上げるのは、以下のような偏微分方程式です。x∂z/∂x + y∂z/∂y = z - a√(x² + y² + z²) (a ≠ 0)この問題は、物理学や工学の多くの分野で現れる非線形の偏微分方程式です。問題を解くためには、さまざま...

この問題では、偏微分方程式xz∂z/∂x + yz∂z/∂y = x² + y² + z²を解く方法を解説します。偏微分方程式を解く際には、適切な変数の分離や変換を行うことが重要です。この手法を通じて、偏微分方程式の解法の一端を学んでいきま...