数学Ⅰ 2次関数の最大値と最小値の求め方 - f(x) = -x² + 6x

2次関数の最大値と最小値を求める問題は、関数のグラフの形や頂点の位置を理解することで解けます。この記事では、関数f(x) = -x² + 6xについて、与えられた範囲0≦x≦a内での最大値と最小値をどのように求めるかを解説します。

2次関数の形と頂点

2次関数f(x) = ax² + bx + cは、放物線のグラフを描きます。この関数では、aが負の場合（-x²のような場合）、放物線は上に凸になります。関数の最大値または最小値は、頂点で発生します。

f(x) = -x² + 6xの場合、a = -1、b = 6です。この関数は、放物線が上に凸になるため、最大値は頂点で得られます。

2次関数の頂点のx座標は、次の式で求められます。

x = -b / 2a

ここで、a = -1、b = 6を代入すると。

x = -6 / (2 * -1) = 3

したがって、x = 3が頂点のx座標です。このx座標におけるy座標が最大値となります。

関数f(x) = -x² + 6xの最大値と最小値を求めるためには、範囲0≦x≦a内での値を評価します。まず、x = 3のときのf(x)の値を求めます。

f(3) = -(3)² + 6(3) = -9 + 18 = 9

よって、x = 3での最大値は9です。

次に、0≦x≦aの範囲の最小値を求めます。この場合、aの値に応じて最小値が決まります。例えば、a = 4の場合、x = 0とx = 4での値を比較します。

もしa = 4であれば、x = 0とx = 4でf(x)を計算してみます。

したがって、範囲0≦x≦4における最小値はf(0) = 0で、最大値はf(3) = 9となります。

2次関数f(x) = -x² + 6xの場合、最大値はx = 3で得られ、その値は9です。最小値は範囲に応じて異なりますが、与えられた範囲内でf(x)の値を計算することで求めることができます。今回の例では、範囲0≦x≦4の場合、最小値は0、最大値は9となりました。