積分の順序交換とその条件についての解説

数学

2025.11.06

この問題では、二重積分の順序を交換した場合に等式が成り立つかどうかについての疑問が提起されています。問題は、fが可積分関数であるとき、以下の積分の順序を交換した場合に等式が成り立つかどうかを問うものです。

問題の設定と積分の順序交換

問題の式は次のように表されます。

∫[a,b](∫[c,d]f(x,y)dy)dx ≠ ∫[c,d](∫[a,b]f(x,y)dx)dy

ここで、積分の順序を交換することができるかどうかを尋ねています。一般的に、積分の順序交換は積分範囲が積分可能であり、関数が可積分である場合に成り立ちます。しかし、条件によっては交換ができない場合もあります。

積分の順序交換は「Fubiniの定理」に基づいて行われます。この定理は、積分範囲が矩形領域であり、関数がその範囲上で可積分である場合に、積分の順序を交換できることを示しています。

Fubiniの定理によると、次の条件を満たす場合、積分の順序を交換することができます。

これらの条件が満たされると、積分の順序を交換しても結果は同じになります。

質問の積分式に関して、積分範囲が矩形領域[a, b]×[c, d]であり、関数f(x, y)がその範囲で可積分であるならば、積分の順序を交換しても等式は成立します。

しかし、もし関数f(x, y)が可積分でない場合や、積分範囲が矩形でない場合、積分の順序交換は成立しない可能性があります。

例えば、積分範囲が矩形領域であり、関数f(x, y)が連続である場合、順序交換が可能です。しかし、関数が連続でない場合や、積分範囲が非矩形領域の場合、順序交換は成立しません。具体的には、関数の奇異点や積分範囲の不整合が問題を引き起こします。

積分の順序を交換するためには、積分範囲が矩形領域であり、関数がその範囲で可積分である必要があります。質問の積分式では、これらの条件が満たされる場合に限り、積分の順序交換が可能です。