三角比の問題：△ABCにおけるsinAの値と内接円・外接円の半径の比の求め方

この問題では、△ABCにおいて与えられた比を使って、sinAの値と内接円と外接円の半径の比を求める方法について解説します。計算過程を含めて詳しく説明しますので、三角比の計算や三角形の性質を理解するための参考になります。

問題の整理

△ABCにおいて、次の比が与えられています。

(CA + AB) : (BC + CA) : (AB + BC) = 5 : 6 : 7

この比を元に、以下の2つの問題を解きます。

まず、三角形の辺の長さを求めるために、与えられた比を利用します。この比は、辺の長さに関する比であるため、各辺の長さを適切に設定していきます。仮に、辺の長さを以下のように置きます。

CA + AB = 5k、BC + CA = 6k、AB + BC = 7k

これらの式を使って、辺の長さを求めるための式を立てます。具体的には、辺の長さの合計に関する式から個々の辺の長さを求めることができます。

辺AB、BC、CAをそれぞれ求めると、次に三角形の面積を求め、sinAの値を計算します。通常、sinAは以下の式で求められます。

sinA = 面積 / (AB × CA / 2)

このようにして、sinAの値を求めることができます。

次に、△ABCの内接円と外接円の半径の比を求めます。三角形の内接円と外接円の半径は、それぞれ次の式で求めることができます。

ここで、sは三角形の半周長、a, b, cは三角形の辺の長さです。これらの式を使って、内接円と外接円の半径を計算し、その比を求めます。

計算を進めていくと、最終的に内接円と外接円の半径の比が求められます。

今回の問題では、△ABCの三辺の比を使って、sinAの値と内接円・外接円の半径の比を求める方法を解説しました。三角形の性質や三角比をうまく活用し、計算を進めることで、問題を解決することができます。