積分問題の中でよく出題されるのが、積分の積（積分の積分）です。特に、指数関数と三角関数が絡んだ積分問題は少し難しく感じるかもしれませんが、方法を理解すればスムーズに解けます。このページでは、∫e^-x•sinx dxの解き方を詳しく解説します。
解法のアプローチ
この積分は積の形をしているため、部分積分を使用することで解決できます。部分積分の公式は以下のように示されます。
∫u dv = uv – ∫v du
ここで、uとdvを適切に選ぶことが大切です。まず、指数関数の部分と三角関数の部分を分けて考えます。
部分積分の適用
∫e^-x•sinx dxを解くために、以下のようにuとdvを設定します。
- u = sinx → du = cosx dx
- dv = e^-x dx → v = -e^-x
これを部分積分の公式に当てはめると。
∫e^-x•sinx dx = -e^-x•sinx – ∫-e^-x•cosx dx
ここで新たに現れる積分∫e^-x•cosx dxも同様に部分積分を適用していきます。
繰り返しの部分積分
同じ方法で積分を繰り返すと、最終的には元の積分と同じ形が現れ、解を得ることができます。計算が少し長くなりますが、繰り返しの部分積分を用いて最終的に解を得ることができます。
詳細な計算過程は省略しますが、最終的に得られる解は。
∫e^-x•sinx dx = (e^-x (sinx – cosx))/2 + C
ここでCは積分定数です。
まとめ
∫e^-x•sinx dxを解くためには、部分積分の公式を使い、繰り返しの手順で積分を求める方法が有効です。指数関数と三角関数が絡む積分問題は少し手間がかかりますが、方法さえ理解すれば解くことができます。
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