この問題では、二次不等式と二次関数のグラフが交わる点に関する問いが出されています。具体的には、与えられた二次不等式を満たすxの範囲内で、二次関数f(x)がx軸とちょうど1つの共有点を持つようなaの値を求める問題です。このような問題では、グラフの性質を理解し、共有点を持つ条件を満たすaの値を導きます。
問題の整理と理解
問題文に出てくる二次不等式x² + 3x + 2 > 0は、まずこの不等式を満たすxの範囲を求めることから始めます。さらに、二次関数f(x) = x² – 2x – a² + 6a – 3のグラフがx軸とちょうど1つの共有点を持つ条件を考えます。
共有点を持つということは、二次関数の判別式が0であることを意味します。判別式が0であるとき、二次関数のグラフはx軸と1点で交わります。
二次不等式x² + 3x + 2 > 0を満たすxの範囲
まず、x² + 3x + 2 = 0を解くことで、この不等式が満たされるxの範囲を求めます。解の公式を使って解くと、x = -1とx = -2という解が得られます。
したがって、x² + 3x + 2 > 0を満たす範囲は、x < -2 または x > -1 となります。この範囲内で、次のステップである二次関数f(x)がx軸と1点で交わる条件を考えます。
二次関数f(x)の判別式を用いてaの範囲を求める
次に、二次関数f(x) = x² – 2x – a² + 6a – 3がx軸と1点で交わる条件を求めます。x軸と1点で交わるためには、f(x)の判別式Δが0である必要があります。
二次関数の判別式はΔ = b² – 4acで求められますが、ここでf(x) = x² – 2x + (-a² + 6a – 3)としたとき、b = -2、a = 1、c = -a² + 6a – 3となります。
判別式Δを計算すると、Δ = (-2)² – 4(1)(-a² + 6a – 3)となり、これを0に設定して解くことで、aの範囲を求めることができます。
判別式を解く
判別式Δ = 0の式を解くと、aに関する二次方程式が得られます。この二次方程式を解くことで、aの値が求められます。
最終的に、この解が求めるaの範囲となります。計算を進めることで、aの範囲が決定され、問題の解答にたどり着きます。
まとめ
この問題は、二次不等式と二次関数のグラフに関する知識を駆使して解く問題です。まずは不等式を解いてxの範囲を求め、その範囲内で二次関数がx軸と1点で交わる条件を判別式を使って求めることがポイントです。最終的にaの値の範囲を求めることで、解答を得ることができます。
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