今回は、2つの2次方程式に共通な実数解を持つように、定数kの値を求める問題について解説します。問題文に出てくる方程式は、x²＋kx＋1=0とx²+x＋k=0です。この問題でのポイントは、共通解を求めるために方程式をどのように解くかという部分です。具体的な解法を順を追って見ていきましょう。
1. 方程式の設定
与えられた2つの方程式は、次の通りです。
x² + kx + 1 = 0
x² + x + k = 0
ここで、これらの方程式には共通する実数解があると仮定します。共通の解を求めるために、この2つの方程式を比較し、連立させることが第一歩です。
2. 共通解の求め方
まず、最初に1つ目の方程式を解きます。x² + kx + 1 = 0と書かれているので、解の公式を使って解くことができます。解の公式は、x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a です。ここで、a=1, b=k, c=1なので、x = (-k ± √(k² – 4)) / 2という形になります。
次に、2つ目の方程式x² + x + k = 0を解きます。こちらも解の公式を使用して、x = (-1 ± √(1 – 4k)) / 2と計算します。これらの解を使って、共通解がどこに現れるかを探ります。
3. 共通解の条件を満たすkの値
共通解があるためには、2つの方程式の解が一致する必要があります。すなわち、解が同じであるためには、2つの方程式が同じ解を持つようなkの値を求める必要があります。
具体的にkを求めるためには、2つの方程式の解を代入して比較します。その結果、kの値は-2であることがわかります。
4. k = -2 という解の意味
k = -2という値を代入すると、x² – 2x + 1 = 0という式になります。この式は、(x – 1)² = 0となり、解はx = 1になります。このことから、共通解がx = 1であることがわかります。つまり、k = -2であれば、両方の方程式は同じ解x = 1を持つことになります。
5. まとめ
この問題を解くには、まず2つの方程式を解き、それぞれの解が一致するkの値を求めることが重要です。最終的に、k = -2がその解となり、共通の実数解はx = 1です。このように、問題を一つ一つ解いていくことで、kの値を求めることができます。
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