三角関数の公式：倍角の公式、加法定理、3倍角の公式の使い方と解説

三角関数の公式には、倍角の公式や加法定理、さらに3倍角の公式などがあり、これらを使いこなすことで、さまざまな数学の問題を解くことができます。今回は、特にcosやtanに焦点を当て、具体的な代入方法と整理方法を解説します。これにより、公式をどのように活用すればよいかが理解できるようになります。

1. 1.2倍角の公式でxに2日を代入して整理する

1.2倍角の公式は、次のように表されます。

cos(2x) = cos²(x) – sin²(x)

これにx = 2日を代入する場合、まず日をxとして扱い、適切な数値に代入します。ただし、公式を使う際に具体的な数値を代入するのは注意が必要です。ここではあくまで計算方法に焦点を当てて説明します。

次に、2倍角の公式でxに日/2を代入してみましょう。2倍角の公式は以下のようになります。

cos(2x) = 2cos²(x) – 1

この公式にx = 日/2を代入する場合、まずx = 日/2に変換した後、適切な計算を行います。計算の際は、余弦関数や正弦関数の基本的な性質を理解しておくとよりスムーズに進みます。

加法定理を使って3倍角の公式を導く方法について説明します。加法定理は、次のように表されます。

cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)

ここで、α = 2x、β = xと設定します。これを加法定理に代入すると、次のように計算できます。

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) – sin(2x)sin(x)

これをさらに整理するためには、2倍角の公式を利用して、cos(2x)やsin(2x)を展開します。

cos(3x) = (2cos²(x) – 1)cos(x) – 2sin(x)cos(x)sin(x)

ここで登場する三角関数のcos（余弦）とtan（正接）について簡単に解説します。

cos(x)は、直角三角形における隣接辺の長さを斜辺の長さで割った値です。一方、tan(x)は、直角三角形における対辺の長さを隣接辺の長さで割った値です。

例えば、tan(x)を求める場合、xの角度がわかれば、sin(x)とcos(x)を利用して次の式で計算できます。

tan(x) = sin(x) ÷ cos(x)

今回は、三角関数の倍角の公式や加法定理を用いて3倍角の公式を求める方法を解説しました。cosとtanの基本的な性質を理解した上で、これらの公式を活用することで、より複雑な三角関数の問題に取り組むことができます。

最初は難しく感じるかもしれませんが、公式に慣れていくことで、問題を効率的に解けるようになります。理解を深めるためには、繰り返し計算して、公式をしっかりと身に付けることが重要です。