x^4 + y^4 + z^4 – 2(xy + xz + yz)^2 の因数分解方法

数学における因数分解は、複雑な多項式を簡潔な形に変換するための重要な手法です。今回の問題は、式 x^4 + y^4 + z^4 – 2(xy + xz + yz)^2 の因数分解についてです。以下では、この式をどのように因数分解するかを詳しく解説します。

式の確認と展開

与えられた式 x^4 + y^4 + z^4 – 2(xy + xz + yz)^2 を展開していきます。まずは、(xy + xz + yz)^2 の部分を展開しましょう。

(xy + xz + yz)^2 は、次のように展開できます。

(xy + xz + yz)^2 = x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + 2xyz(x + y + z)

式全体の展開

これを元の式に代入すると、次のようになります。

x^4 + y^4 + z^4 – 2(x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 + 2xyz(x + y + z))

式を整理していくと、最終的に因数分解できる形に近づけていくことができます。

因数分解のステップ

因数分解を進める上で、まずは共有できる項をグループ化してみましょう。x^4, y^4, z^4 などの高次の項を整理した後、適切な因数分解法を用いてさらに簡素化します。

このように因数分解を進めると、式の中で共通する因子が現れる場合があります。それにより、計算が簡単になり、最終的に因数分解された形に到達します。

因数分解の結果

最終的に、この式は次のように因数分解できます。

(x^2 + y^2 + z^2 – 2xy)(x^2 + y^2 + z^2 – 2xz)(x^2 + y^2 + z^2 – 2yz)

この形により、元の式を因数分解することができました。

まとめ

今回の式 x^4 + y^4 + z^4 – 2(xy + xz + yz)^2 は、展開と因数分解を繰り返すことで最終的に簡単な形に変換することができました。因数分解は数学の中でも重要な技術であり、問題を解く上で非常に役立ちます。今回の手順を参考にして、他の複雑な多項式の因数分解にも挑戦してみてください。