今回は、数学の問題「(a) e=lim_(n→∞) (1+1/n)^n」と「(b) lim_(h→0) (e^h-1)/h=1」について、(b)から(a)を導く方法に関して詳しく解説します。問題文の途中式に関して自信がない方や、ステップごとにしっかりと理解を深めたい方に向けた内容です。
1. 問題の整理と基本的なアプローチ
最初に、与えられた問題を整理しましょう。問題(a)は、無限大における(1+1/n)のn乗の極限値を求めるものです。問題(b)は、e^h – 1をhで割った値の極限が1であることを示す問題です。
これらを繋げていくには、(b)から(a)を導くためのステップが必要です。具体的には、(b)の式を利用して、(a)に繋がる形に変換していきます。
2. k=e^h-1とおいて式を変形する
まず、(b)の式を使ってk=e^h-1とおくことで、h→0のときk→0となります。次に、e^h=1+kと式変形し、両辺の自然対数を取ります。
この式から得られる結果として、h=log(1+k)となります。ここで重要なのは、hがkと関係していることです。
3. 極限を取るプロセス
次に、lim_(h→0) (e^h-1)/hをlim_(k→0) k/log(1+k)に変形します。これは、kが0に近づく際に解を導くための方法です。
次に、lim_(k→0) 1/(log(1+k)^(1/k)) = 1と示すことで、最終的にlim_(k→0) (1+k)^(1/k)がeであることが分かります。
4. n=1/kとおくことでn→∞とする
最後に、n=1/kとおくことでk→0のときn→∞に対応する形にし、lim_(n→∞)(1+1/n)^n = eを得ることができます。
5. まとめ
今回の問題を通じて、(b)の式を使って(a)の式に繋がる過程を解説しました。問題を解くためには、各式の変形をしっかりと理解し、ステップごとに進んでいくことが重要です。
問題(b)から問題(a)を導く過程を理解することによって、極限や対数、指数関数の取り扱い方に対する理解が深まるでしょう。
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