数列の極限に関する問題の解法とその反例

数列における極限に関する問題は、数学において基本的かつ重要なテーマです。本記事では、数列の極限に関する問題について、特にある条件が成立する場合にどうなるかを詳しく解説します。具体的には、数列の極限に関する問いに対し、正しい場合と正しくない場合の解法と反例を紹介します。

問題の設定

与えられた問題は次の通りです。数列｛a｝｛b｝｛c｝において、aは定数であり、次の2つの条件が成立しています。

このとき、lim【n→∞】b = a が成立するかどうかを調べます。

まず、この条件が正しい場合を証明してみましょう。lim【n→∞】(a – b) = 0 ということは、数列｛a – b｝がn → ∞のときに0に収束することを意味します。

すなわち、a – bの差が0に近づくためには、bがaに近づく必要があります。よって、lim【n→∞】b = a が成立することがわかります。この証明は、数列の収束の基本的な性質に基づいています。

次に、この条件が正しくない場合、すなわちlim【n→∞】b ≠ aが成立する反例を示しましょう。例えば、次のような数列を考えます。

数列a_n = 1, b_n = 1 + (-1)^n という数列を考えます。この場合、a_nは定数1に収束しますが、b_nは1と-1を交互にとるため、lim【n→∞】b_nは存在しません。

このような場合において、lim【n→∞】(a – b) = 0 という条件が成立しても、lim【n→∞】b = aが成立しないことが示されます。

極限に関する問題では、条件を正しく理解することが非常に重要です。lim【n→∞】(a – b) = 0が成立しても、bの収束先がaに一致するとは限りません。反例で示したように、bが収束しない場合もあります。

このような事例では、条件だけではbの収束先がaであると確定することはできません。数列の収束に関しては、より詳細な条件や数列の構造を考慮することが必要です。

今回の問題に関しては、lim【n→∞】(a – b) = 0が成立し、lim【n→∞】a = aが成立する場合、lim【n→∞】b = aが成立することが証明されました。しかし、条件が整っていない場合、例えばbが収束しない場合には、この結論が成り立たないことも示しました。

極限を扱う問題においては、与えられた条件を正確に理解し、反例や詳細な検証を行うことが重要です。