平均値の定理とsinxとxの大小関係の理解：x<0の場合も含めて解説

平均値の定理を学んでいるときに、特にsinxとxの大小関係が問題になることがあります。特に、x > 0の時は微分を使って解くことができるのですが、x < 0の時はどうすればよいのかがわからないという問題です。ここでは、その解き方をわかりやすく解説します。

sinxとxの大小関係

まず、x > 0のとき、sinx < xという関係はよく知られています。この関係は、微分を使って証明できます。具体的には、f(x) = x - sinxという関数を考え、その導関数を調べることで、この不等式が成り立つことを確認できます。

x < 0の場合はどう考えるか？

x < 0の場合も同じく、sinx < xという関係が成り立つことを示す必要があります。ここでは、x < 0の範囲で同じ方法を使うことができます。sinxの微分を利用して、関数の挙動を解析し、x < 0でも不等式が成立することがわかります。

微分を利用して証明する方法

具体的には、x > 0、x < 0の両方の範囲で、f(x) = x - sinxの導関数を調べ、f'(x) = 1 - cosxが常に正であることを確認します。この結果により、x > 0、x < 0のどちらでも、sinx < xという不等式が成り立つことが分かります。

まとめ

x > 0、x < 0のどちらの範囲においても、sinx < xという不等式が成り立つことが確認できました。微分を利用して関数の挙動を解析することで、この関係が一般的に成立することを理解することができます。このように、微分を駆使して問題を解くことが、数学的な理解を深めるために有効な方法となります。