関数f(x)=｜x｜の微分について：数学的な解説

関数f(x)=｜x｜は、絶対値関数として広く知られています。では、この関数は微分可能かどうかについては、少し注意が必要です。この記事では、関数f(x)=｜x｜の微分について解説します。

1. 絶対値関数の定義

関数f(x)=｜x｜は、xの符号に応じて2つの異なる式で表されます。xが0以上の場合、f(x)=xとなり、xが0未満の場合、f(x)=-xとなります。これが絶対値関数の基本的な定義です。

微分可能かどうかを判断するためには、関数の定義に従い、微分の定義に基づいて計算を行う必要があります。微分可能であるためには、関数のグラフが滑らかであり、特定の点で不連続や角度ができていない必要があります。

まず、x=0以外の点では、関数f(x)=｜x｜は微分可能です。x>0の時はf(x)=xで、f'(x)=1となり、x<0の時はf(x)=-xで、f'(x)=-1となります。しかし、x=0の時、右側からの接線と左側からの接線の傾きが異なるため、x=0では微分不可能です。

x=0の点では、グラフがV字型で急激に角度を変えるため、微分の定義に従うと、左右で異なる傾きになることが分かります。このように、接線の傾きが一意に定まらないため、f(x)=｜x｜はx=0で微分不可能です。

関数f(x)=｜x｜は、x=0を除いて微分可能であり、x=0では微分不可能であるということが分かりました。これは、絶対値関数の特性上、x=0で急激に方向転換をするためです。