数学問題解説：x^2 + y^2 + z^2 ≧ ax(y - z) の定数aの範囲を求める方法

今回の数学の問題では、x^2 + y^2 + z^2 ≧ ax(y – z) がすべての実数 x, y, z において成り立つとき、定数aの範囲を求める問題です。ここでは、問題の解法をステップバイステップで解説し、aの範囲を求める方法を説明します。

問題の整理

与えられた不等式は、x^2 + y^2 + z^2 ≧ ax(y – z) です。この式において、x, y, z は実数であり、aは定数です。この不等式がすべての実数 x, y, z に対して成り立つためには、aの値がどのような範囲にあるかを求めることが求められます。

まず、式を変形してみましょう。ax(y – z) の部分を展開すると、次のようになります。

ax(y – z) = axy – axz

したがって、不等式は次のように書き換えられます。

x^2 + y^2 + z^2 ≧ axy – axz

これを基にして、aの範囲を求めていきます。

次に、x, y, z に特定の値を代入して、この不等式が成り立つためのaの範囲を求めます。例えば、x = 1, y = 1, z = 0 の場合を考えます。

式に代入すると、次のようになります。

1^2 + 1^2 + 0^2 ≧ a(1)(1 – 0)

これを計算すると。

2 ≧ a

したがって、この条件からa ≤ 2が成り立つことがわかります。

さらに別の値を代入して確認すると、aの範囲は-2 ≤ a ≤ 2 であることがわかります。これにより、不等式がすべての実数 x, y, z において成り立つためには、定数aは-2以上2以下である必要があると結論できます。

今回の問題では、与えられた不等式を変形し、実際に特定の値を代入することで、定数aの範囲が-2 ≤ a ≤ 2 であることがわかりました。数学の問題では、式の変形や値の代入をうまく使うことで、解法を明確に導くことができます。