微分方程式の解法: xy'' + (y-1)y' = 0 の解き方

今回は微分方程式 xy” + (y-1)y’ = 0 を解く方法を詳しく解説します。この問題では、2階の微分方程式を解くために、変数分離法を使ったアプローチを採ります。微分方程式の解法にはいくつかの方法がありますが、この問題に適した手順で解答します。

問題の整理

まず、与えられた微分方程式を整理します。

xy'' + (y - 1)y' = 0

ここで、y” はyの2階微分、y’はyの1階微分を表します。まず、変数分離法を使って解く方法を考えます。

変数分離法を適用するために、この方程式を変形します。まず、式を y” の形に書き換えます。

y'' = -(y - 1)y'/x

次に、y” = d²y/dx² として、方程式を以下のように変形します。

x(dy'/dx) = -(y - 1)y'

ここで、両辺を y’ で割ります。すると、次のようになります。

x(dy'/y') = -(y - 1)dx

両辺を積分することで、y と x の関係を求めることができます。

上記の式を積分すると、次のような形になります。

∫(dy'/y') = -∫(y - 1)dx/x

積分を実行することで解が求まります。結果として、y の解が得られます。この積分の結果として得られる y = Cx + 1 のような形式に帰着します。

この問題は、微分方程式の基本的な解法である変数分離法を使って解くことができます。変数分離法を適用することで、解が簡単に求められることがわかりました。今後の問題にも応用できる基本的な技法なので、しっかりと理解しておきましょう。