三角柱の切断問題：三角形AEFで切断した立体の体積を求める方法

この問題では、二等辺三角形ABCを底面とする三角柱ABC-DEFが与えられ、三角形AEFで三角柱を切断したときに得られる立体の体積を求める問題です。まずは問題の構造と必要な計算方法を確認し、実際に体積を求める方法を学びます。

問題の設定と基本的な図形の理解

まず、与えられた三角柱ABC-DEFを理解することから始めます。三角柱は二つの平行な三角形を持ち、その間に四辺の長さが等しい側面があります。ここでは、底面となる三角形ABCが二等辺三角形であり、AB=AC=2、∠BAC=120°という条件が与えられています。

また、三角形AEFが正三角形であるという条件もあります。これにより、点A、E、Fがどのように位置するか、そして三角柱を切断した後の立体がどのような形状になるかを理解する必要があります。

三角柱ABC-DEFを平面AEFで切断したとき、立体がどのように分割されるのかを考えます。三角形AEFが正三角形であるため、この平面で切断された部分の形状は非常に対称的です。切断後の立体の体積を求めるためには、まず切断された部分の形状を特定し、それを基に計算を行います。

切断された立体は、底面BCを含む部分が残ることになります。この部分の体積を求めるには、三角柱全体の体積から切断された部分の体積を引く方法が有効です。体積を求める際には、三角柱の高さや底面の面積を考慮する必要があります。

三角柱の体積を求める基本的な式は、底面積に高さを掛けることです。ここでの底面積は、三角形ABCの面積に相当します。三角形ABCは二等辺三角形なので、底面の面積は簡単に計算できます。

三角形ABCの面積は、以下のように求めることができます：
面積 = 1/2 × AB × AC × sin(∠BAC)
この式に与えられた値を代入することで、三角形ABCの面積を計算できます。その後、三角柱全体の体積を求めるためには、高さを掛ける必要があります。

次に、三角柱を平面AEFで切断したときに残る立体の体積を求めます。この場合、切断された部分の形状が重要です。正三角形AEFを基にして、切断後の部分の面積を求め、そこから立体の体積を計算する方法を使います。

まず、切断部分の高さや面積を求め、残った部分の体積を導き出します。残りの立体の体積は、三角柱全体の体積から切断された部分の体積を引いたものになります。

この問題では、三角柱を平面AEFで切断した後に残る立体の体積を求めるために、三角柱の基本的な構造や切断面の理解が重要です。計算には三角形の面積と三角柱の体積の計算が必要であり、正三角形の特性や断面の形状をしっかり把握することが求められます。

最終的に、求める体積は三角柱の全体の体積から切断部分の体積を引く方法で求めることができ、必要な計算手順を踏むことで正確な答えにたどり着くことができます。