ベクトルの正射影の計算方法 - 平面α上にベクトルbを正射影する

ベクトルの正射影について、具体的な計算方法を解説します。問題では、ベクトルa = (2, 1, 2)に垂直な平面α上に、ベクトルb = (1, 1, 1)を正射影した結果、得られるベクトルcの成分を求める問題です。

1. 正射影の基本概念

ベクトルbを平面αに正射影するとは、ベクトルbを平面αに直交する方向に投影することです。これは、ベクトルbの平面α上への投影成分を求めることを意味します。

ベクトルbの正射影cを求めるためには、まずベクトルa（平面αに垂直なベクトル）を使って、bのaに対する射影成分を求めます。射影ベクトルcは、次の式で求めることができます。

c = b – (b ・ a) / (a ・ a) * a

ベクトルa = (2, 1, 2) と b = (1, 1, 1) を使って計算します。

まず、b ・ a（内積）を求めます。

b ・ a = (1 * 2) + (1 * 1) + (1 * 2) = 5

次に、a ・ a（aの内積）を求めます。

a ・ a = (2 * 2) + (1 * 1) + (2 * 2) = 9

射影成分cを求めるために、次の計算を行います。

c = (1, 1, 1) – (5 / 9) * (2, 1, 2) = (1, 1, 1) – (10/9, 5/9, 10/9) = (1 – 10/9, 1 – 5/9, 1 – 10/9)

c = (-1/9, 4/9, -1/9)

したがって、ベクトルb = (1, 1, 1)を平面αに正射影したベクトルcは、c = (-1/9, 4/9, -1/9) となります。ベクトルの正射影は、直交射影と同じように内積を利用して計算することができます。問題の理解と計算方法を押さえれば、他の類似の問題にも対応できるようになります。