全微分と偏微分：方向別の増加量についての解説

全微分は、多変数関数において各変数が変化することによる関数の変化を捉える重要な概念です。質問にあるように、「各方向の偏微分の増加量を見ている」とはどういうことかについて詳しく解説します。この記事では、全微分と偏微分の関係を分かりやすく説明します。

全微分と偏微分の基本的な違い

まず、偏微分とは、ある変数を他の変数が一定としたときに、関数がどれだけ変化するかを示すものです。例えば、2変数関数の場合、偏微分は1つの変数を変化させたときの関数の変化率を求めます。

一方、全微分は、多変数関数が複数の変数に依存している場合、すべての変数が変化することで関数がどれだけ変化するかを考慮します。つまり、全微分は各方向の偏微分の合成として捉えることができます。

全微分は、各変数についての偏微分を加重平均的に合成したものです。具体的には、全微分は次の式で表されます：
df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy

この式では、∂f/∂xと∂f/∂yが偏微分であり、dxとdyはそれぞれxとyの変化量です。つまり、全微分は関数がx方向とy方向にどれだけ変化するかを合成して、関数全体の変化量を求める方法です。

質問で言われている「各方向の偏微分の増加量を見ている」という点について、全微分はまさにその合計を示しています。つまり、関数が複数の変数に依存している場合、それぞれの変数が変化した時の影響を偏微分で表し、その影響を全て加算することで全体の変化量を求めるのです。

例えば、2変数関数f(x, y)があるとき、xとyの両方が変化する場合、全微分は各方向（x方向、y方向）の偏微分による影響を加算した結果を反映します。このため、全微分を通じて関数全体の挙動を把握することができます。

例えば、関数f(x, y) = x^2 + y^2の場合、全微分は次のように計算できます。偏微分を求めると、∂f/∂x = 2x、∂f/∂y = 2y です。

したがって、全微分dfは次のように表されます：
df = 2x dx + 2y dy

この式から、xとyの変化量dxとdyが与えられると、関数f(x, y)がどれだけ変化するかを計算できます。これが全微分の概念です。

全微分は、各変数の偏微分による影響を合成したものです。質問にあった「各方向の偏微分の増加量を見ている」というのは、全微分が実際に各方向（各変数）の変化量を加算して関数全体の変化を求めることを意味しています。全微分と偏微分の関係を理解することで、多変数関数の挙動をより正確に把握できるようになります。