ベクトルの一次独立と表現方法についての考察

ベクトルの問題において、一次独立な2つのベクトルを用いてすべてのベクトルを表すことが重要です。しかし、与えられた3つのベクトルをそのまま使って議論を進めても良いのか、という疑問について解説します。

1. 一次独立とベクトルの表現

一次独立なベクトルとは、お互いに線形結合で表現できないベクトルのことを指します。例えば、ベクトルa→とb→が一次独立であれば、a→とb→を組み合わせることで平面内の任意のベクトルを表すことができます。

問題文で示されたように、c→=s a→+t b→のように、3つ目のベクトルc→を2つのベクトルa→とb→の線形結合で表すことができます。これは、c→がa→とb→によって張られた平面内に収まる場合の典型的な方法です。

ですが、特に一次独立を意識しない場合でも、問題によってはそのままc→を使って議論を進めても良いことがあります。たとえば、係数比較などを使わない場合、c→をそのまま使うことが許容されます。

一次独立の概念を使わない場合、すべてのベクトルを線形結合で表現する必要はありません。そのため、与えられた3つのベクトルをそのまま使って議論を進めることも可能です。特に、係数を比較して解くような問題であれば、一次独立なベクトルを意識する必要がありません。

一次独立を用いることが必要かどうかは、問題の内容や求められる解法に依存します。係数比較をする際には一次独立を意識する必要がありますが、単にベクトルの関係を扱う場合は、3つのベクトルをそのまま使っても構いません。