3次式の公式 (a+b)³ と a³+b³ の違いと覚え方

3次式の公式、特に (a+b)³ と a³+b³ はよく混同されがちですが、それぞれ異なる公式です。この記事では、この2つの式の違いを明確にし、混乱しないための覚え方を紹介します。

(a+b)³ の展開

まず、(a+b)³ の公式について見ていきましょう。この公式は、次のように展開されます。

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

この式は、aとbの三乗の和だけでなく、aとbを掛け合わせた2つの項（3a²b と 3ab²）も含まれています。

次に、a³ + b³ の公式を見てみましょう。こちらは次のように因数分解できます。

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

この式は、a³ と b³ が個別に現れるだけでなく、aとbの和と、a² – ab + b²の積として表されます。

(a+b)³ と a³+b³ を混同しないためには、それぞれの公式の特徴をしっかり理解することが重要です。

まず、(a+b)³ は展開されると4項（a³, 3a²b, 3ab², b³）になりますが、a³ + b³ は因数分解により2項（a + b と a² – ab + b²）の積として表される点に注目しましょう。

また、(a+b)³ には2つの中間項（3a²b と 3ab²）が含まれていることを覚えておくと、間違えずに展開できます。

実際に式を展開して覚えると、より理解が深まります。例えば、a = 2, b = 3 の場合。

(a+b)³ = (2+3)³ = 5³ = 125

そして、展開すると。

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 2³ + 3(2²)(3) + 3(2)(3²) + 3³ = 8 + 36 + 54 + 27 = 125

一方、a³ + b³ は。

a³ + b³ = 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35

今回の記事では、(a+b)³ と a³ + b³ の違いと、混乱しないための覚え方について解説しました。

それぞれの公式の展開を覚えることで、どちらがどの式かを見分けることができ、数学の問題でのミスを減らすことができます。公式を理解し、実際に展開して覚えることで、確実に使いこなせるようになります。