今回の問題では、連立方程式を解き、実数の組(x, y)が解となるような実数kの値を求める問題です。問題文に示された方程式は次の通りです。
x² + xy + y² = k + 3
x² – xy + y² = 3k + 7
このような連立方程式において、実数解が存在するための条件を考え、kの値を求める方法を解説していきます。
方程式を整理する
まず、与えられた連立方程式を整理して、簡単に解ける形に持ち込むことから始めます。
まず、2つの式を引き算してみましょう。1つ目の式から2つ目の式を引くと、次のようになります。
(x² + xy + y²) – (x² – xy + y²) = (k + 3) – (3k + 7)
計算すると、左辺はxy、右辺は-2k – 4 となります。よって、次の式が得られます。
xy = -2k – 4
xyを使ってkを求める
次に、得られた式xy = -2k – 4を使って、kの値を求める方法に進みます。最初に得た式に代入して、連立方程式を解いていきます。
ここでは、実数解が存在するためには、解の条件を満たす必要があります。このため、代入した後、解が実数となるようなkの値を求めることが必要です。
実数解の条件を導く
連立方程式の解が実数であるためには、判別式が非負である必要があります。判別式を用いて、実数解が存在するkの範囲を求めることができます。
具体的には、xyの値が-2k – 4であり、この値を使って実数解が存在するための条件を求めます。判別式の条件を満たすkの範囲を導くことで、解が実数であるためのkの値を確定できます。
問題を解くためのヒント
この問題では、単純に公式を覚えるだけでなく、数学的な背景にある理論を理解し、実数解がどのように求められるのかを考えることが大切です。解法の流れに沿って解くことで、問題に対する理解が深まります。
まとめ：実数解が存在するkの値の求め方
この問題では、連立方程式を解いて実数解が存在するkの値を求める方法について説明しました。最初に連立方程式を整理し、次にxyの値を代入してkの値を求め、その後、実数解の条件を使ってkの範囲を導くことができます。
問題を解くためには、数学的な理論を理解することが重要であり、解法の流れに従って進めることで、複雑な問題でも効率的に解くことができます。
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