cos(−θ) と cos(θ) の関係についての解説

質問では、cos(−θ)がcos(θ)と等しい理由について尋ねられていますが、特にθが−120°のときに、第三象限でのcosの符号がどうなるかについて疑問が生じているようです。この記事では、三角関数の性質と、角度が異なる象限における符号の変化について詳しく解説します。

cos(−θ) = cos(θ) の性質

まず、cos(−θ) = cos(θ)が成り立つ理由について理解するためには、三角関数の偶関数性を知っておく必要があります。cos(x)は偶関数であり、これはつまり、cos(−x) = cos(x)が常に成り立つことを意味します。したがって、−θを入力した場合でも、cos(−θ) = cos(θ)となります。

なぜ−120°では符号が変わらないのか

質問の中で、−120°を入れると第三象限で−cos(θ)になるのではないかという点についてですが、ここで重要なのは、「cos(−θ) = cos(θ)」という関係が成立することです。第三象限では、cos(−120°)は確かに負の値を取りますが、これはcos(θ)が負であるということに関連しています。

具体的に言うと、−120°という角度は実際には第三象限に位置し、cos(−120°)を求めると、その結果は−cos(120°)となり、最終的に−cos(θ)となります。しかし、cos(−θ)がcos(θ)と等しい理由は偶関数性に基づいており、−120°という角度自体がそのまま負の値を持つわけではありません。

三角関数の偶関数性とは

三角関数の偶関数性について詳しく説明します。偶関数とは、関数が−xの値に対してxの値と同じ結果を返す関数です。cos(x)は偶関数であるため、次の式が成り立ちます。

cos(−θ) = cos(θ)

これに対して、sin(x)は奇関数であり、−xに対して符号が逆転します。したがって、sin(−θ) = −sin(θ)となります。このように、cosとsinでは、符号の変化に違いがあります。

まとめ

cos(−θ) = cos(θ)という関係は、三角関数の偶関数性に基づくものです。したがって、−120°のような角度を使っても、cos(−120°)はcos(120°)と等しい結果を返します。この理解をもとに、三角関数をさらに深く学んでいくことができます。