不等式の解法と座標変換の有効性について解説

この問題では、不等式を満たす実数aとbを求めるために、座標変換を使った解法が提示されています。特に、x=rcosθ, y=rsinθという変換方法の有効性について、なぜそれが正当であるかを解説します。

問題の整理と不等式の理解

問題では、次の不等式が与えられています。

a(x^2 + y^2) ≦ x^2 + 3xy + 5y^2 ≦ b(x^2 + y^2)

この不等式を満たす実数aとbを求めることが目的です。最初に問題を解くために必要な条件を整理し、それを満たすaとbを求めます。

問題では、x=rcosθ, y=rsinθという座標変換を使用しています。なぜこの変換が有効かというと、変換後の式がよりシンプルになり、不等式を解く上で計算を簡便にするからです。座標変換を使うことで、x^2 + y^2がr^2に変換され、問題を極座標系に基づいて解くことが可能になります。

座標変換を行うことで、次のように式が変形します。

x^2 + y^2 = r^2

そして、xyの項はr^2sinθcosθに変換され、さらに計算が簡素化されます。この変換によって、不等式が具体的な数値で評価しやすくなり、aとbの範囲を求めることができます。

座標変換後、適切な不等式を導出し、実際にaの最大値とbの最小値を求めます。この問題においては、変換後の式を解析して得られた結果がa=3/10、b=12/13となります。座標変換を使うことで、この計算を直感的に進めることができました。

座標変換を利用することで、複雑な二次式をよりシンプルに処理することができることがわかります。この方法を使用することによって、数学的な問題を効率的に解くことができ、他の数学的な解析にも応用可能です。特に、極座標系の利用は多くの問題で非常に有効な手段です。