直線 5x + ay – 15 = 0 と、2点 (0, b) および (5/2, 3) が対称になるような定数 a, b の値を求める問題に関する解法を解説します。問題は中点が直線上にあるという条件を活用し、さらに距離が等しいという条件を使って解きます。今回は、方程式と距離の公式を使った方法をステップごとに紹介します。
問題の整理
直線 5x + ay – 15 = 0 上にある 2点 (0, b) と (5/2, 3) が対称になるように、定数 a, b の値を求める問題です。まず、これらの2点が対称になるためには、2点の中点が直線上にある必要があります。この条件を使うと、1つ目の方程式が得られます。
中点の座標は (0, b) と (5/2, 3) の中点となり、その座標は次のように求めます。
中点 = ((0 + 5/2) / 2, (b + 3) / 2) = (5/4, (b + 3) / 2)
中点が直線上にある条件
中点が直線上にあるためには、その座標 (5/4, (b + 3) / 2) を直線 5x + ay – 15 = 0 の方程式に代入しなければなりません。
直線の方程式に中点を代入すると、次のような式が得られます。
5(5/4) + a((b + 3) / 2) – 15 = 0
これを整理すると、次のようになります。
25/4 + a(b + 3) / 2 – 15 = 0
この式が1つ目の条件式になります。
距離が等しいという条件を使う
次に、2点 (0, b) と (5/2, 3) のそれぞれが直線からの距離が等しいという条件を使います。距離の公式を使って、2点から直線までの距離が等しいことを示します。
距離の公式を使うと、距離の条件式を次のように表すことができます。
|ab – 15| = |5(5/2) + 3a – 15|
これをそれぞれ展開して、2つの方程式を得ることができます。最初の方程式は。
ab – 15 = 25/2 + 3a – 15
これを整理すると。
2ab = 25 + 6a ・・・(1)
2番目の方程式は。
ab – 15 = -(25/2 + 3a – 15)
これを整理すると。
2ab = -6a + 35 ・・・(2)
方程式の解法
① の方程式 2ab = 25 + 6a と ② の方程式 2ab = -6a + 35 であるため、まず①の方程式から解を求めます。この時点で、②の方程式が消えてしまうことがありますが、正しいアプローチとして①の方程式から続けます。
①の方程式 2ab = 25 + 6a を解くことで、最終的な解に到達します。具体的な計算の結果として、定数 a と b の値を求めることができます。
まとめ
この問題の解法は、2点の中点が直線上にあるという条件と、2点から直線までの距離が等しいという条件をうまく活用することです。1つ目の方程式で中点の座標を代入し、2つ目の方程式で距離の条件を使うことで、定数 a と b の値を求めることができます。最終的に得られる解に従って計算することで、答えを求めることができます。
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