sinx < x < tanx の不等式とsinxで割る際の注意点

数学の問題でよく見かける不等式「sinx < x < tanx」。この不等式を解くとき、sinxで割る場合の注意点について疑問を持つ方も多いです。特に、sinxが負の値を取ることがある場合の取り扱いについて、どのように考えるべきかを解説します。

1. 不等式の基本：sinx < x < tanx

不等式「sinx < x < tanx」は、xの値が0からπ/2（または0から180度）において成り立ちます。この不等式は、三角関数の性質に基づいており、xが0以上の範囲で確認できます。

この不等式では、sinx、x、tanxが互いにどのような関係にあるかを示しています。特に、xが0からπ/2の範囲では、tanxはsinxよりも常に大きく、xはsinxとtanxの間に位置します。

次に、sinxで不等式を割る場合について考えます。sinxで割る場合、重要なのはsinxが0以上の値である必要があるということです。

なぜなら、三角関数の符号に注意しなければならないからです。もしsinxが負の値を取る場合、割る際に不等式の向きが逆転します。これにより、sinxが負の値の場合には、式の符号を適切に扱うことが必要です。

sinxが負の値を取る場合、例えばxがπから2πの範囲にある場合、sinxは負になります。このような場合に不等式をそのまま使うと矛盾が生じる可能性があるため、割ること自体が不適切になります。

したがって、不等式「sinx < x < tanx」を扱う際は、まずxの範囲を確認し、sinxが正であることを確認した上で割り算を行う必要があります。

実際の例を使って、sinxで割る際の注意点を見ていきましょう。

例えば、x = π/6（30度）の場合、sin(π/6) = 1/2です。このとき、sinxは正の値を取るため、不等式「sinx < x < tanx」を使って計算を行うことができます。

しかし、もしx = 4π/3（240度）のようにxが負の範囲に入る場合、sin(4π/3)は負になります。このときsinxで割ることは不適切であり、不等式の向きも逆転するため、注意が必要です。

不等式「sinx < x < tanx」を解く際にsinxで割る場合、sinxが正であることが前提です。sinxが負の場合には、不等式をそのまま扱うことができません。適切な範囲で、符号に注意しながら解くことが求められます。このような注意点をしっかり理解して問題に取り組むことが大切です。