この問題では、サイコロを5回投げた後、点Pが原点Oに戻る確率を求める問題です。問題の内容を整理し、必要な計算を行う方法を解説します。
1. 問題の整理
点Pは原点Oからスタートし、サイコロを投げて移動します。サイコロの目が1, 2, 3, 4の場合は正の向きに2単位、目が5, 6の場合は負の向きに3単位移動します。
このサイコロを5回投げることで、最終的に点Pが原点Oに戻る確率を求めます。
2. 移動のパターン
サイコロを1回投げたとき、点Pは+2か-3のいずれかに移動します。このため、サイコロを5回投げると、移動量は次の式で求めることができます。
- 5回のうちx回正の向きに2単位、(5-x)回負の向きに3単位
その移動量を計算するためには、式で表すと次のようになります。
- 移動量 = 2x – 3(5 – x) = 5x – 15
最終的に点Pが原点Oに戻るためには、移動量が0である必要があります。つまり、以下の式が成り立ちます。
- 5x – 15 = 0
- x = 3
つまり、正の向きに2単位移動する回数は3回である必要があります。
3. 確率の計算
次に、この条件を満たす確率を求めます。サイコロを5回投げる場合、正の向きに2単位移動する回数が3回、負の向きに3単位移動する回数が2回である場合の確率は、二項分布を使って計算できます。
サイコロを1回投げるとき、正の向きに2単位移動する確率は4/6、負の向きに3単位移動する確率は2/6です。このため、確率は次のように計算されます。
- 確率 = (5回のうち3回が正の向きに2単位) × (それに対応する負の向きの回数) = C(5, 3) × (4/6)^3 × (2/6)^2
この確率を計算すると、最終的にPがOに戻る確率が得られます。
4. 結論
この問題では、サイコロを投げる回数と移動のパターンを適切にモデル化し、確率を計算することで解答を求めることができます。サイコロを5回投げた後、PがOに戻る確率を求める方法は、二項分布を使って計算することで簡単に求められます。
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