この問題では、XYZ空間における平面の対称性と、光の反射を利用して最短経路を求める方法について解説します。具体的には、平面αに関して点Dと対称な点Eを求める方法と、光源から出た光が反射してxy平面上の点Qに至るまでの最短経路を求める問題です。これらの問題を通して、幾何学的な視点からの理解を深めましょう。
（1）平面αに関して点Dと対称な点Eの座標を求める
まず、平面αは3点A(4√3, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 2)を通ります。これらの点を使って平面αの方程式を求める必要があります。
平面の方程式は一般に、ax + by + cz = d という形で表されます。平面αの法線ベクトルは、A, B, Cの位置ベクトルを使って計算できます。これを使って平面の方程式を求め、その後、点D(0, 0, 1)と平面αに関して対称な点Eを計算します。
点Dと平面αに対する点Eの求め方
点Dと平面αに関して対称な点Eは、点Dと平面αとの間の直線上にあります。この対称性を計算するためには、点Dと平面αの距離を求め、その距離だけ点Dを移動させることによって点Eを求めます。
この計算では、平面の方程式を利用して点Dと平面との距離を求め、その後、この距離を用いて点Dから平面を反射させた点Eの座標を求めます。
（2）光源Dからの反射光が最短経路を辿る点Pを求める
次に、点Dから出た光が平面αで反射し、xy平面上の点Qに到達する場合の最短経路を求めます。この問題は、光の反射と最短経路の問題であり、最短経路を求めるには反射の法則を考慮します。
光の反射の法則に基づき、点Pで反射された光がxy平面の点Qに至るように、点Pの座標を求めます。反射の法則を適用し、DP + PQが最小となる点Pを求めるためには、まず反射を考慮した最短経路を計算します。
最短経路の解法
最短経路を求めるためには、点Pを反射点として、点Dと点Qを結ぶ経路の長さを最小化する方法を用います。幾何学的には、点Dを平面αで反射させ、点Qまでの直接的な経路を求めることが重要です。具体的な計算を通じて、DP + PQが最小となる点Pの座標を求めることができます。
計算結果として、点Pの座標が求まります。その後、DP + PQが最小となるような点Pがxy平面上で特定されます。
まとめ
この問題では、XYZ空間内の平面に関する対称性と、光の反射を利用した最短経路の問題を解く方法について解説しました。まず、平面αの方程式を求め、点Dとその対称点Eの座標を求めました。次に、反射の法則を用いて、点Pで反射された光が最短経路を辿るような点Pの座標を求めました。これらの問題は、幾何学的な視点から物理的な法則を理解し、計算する力を養うものです。
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