三角関数の問題において、与えられた条件から他の値を求めることがよくあります。今回は、sinα = 4/5の条件下でsin(α/2)を求める方法について解説します。
1. 与えられた条件の確認
問題文において、与えられた条件は次の通りです。
- π/2 < α < π
- sinα = 4/5
これらの条件に基づいて、sin(α/2)を求めます。
2. 半角の三角関数の公式を使う
sin(α/2)を求めるためには、半角の三角関数の公式を使用します。具体的には、次の公式を使います。
sin(α/2) = ±√((1 – cosα)/2)
ここで、符号（±）については、αがπ/2 < α < πの範囲内にあることを考慮して決定します。
3. cosαの計算
次に、sinα = 4/5からcosαを求めます。sin²α + cos²α = 1という三角関数の恒等式を使います。
sin²α + cos²α = 1
(4/5)² + cos²α = 1
16/25 + cos²α = 1
cos²α = 1 – 16/25 = 9/25
cosα = ±3/5
ここで、αはπ/2 < α < πなので、cosαは負であると判断できます。したがって、cosα = -3/5です。
4. sin(α/2)の計算
cosα = -3/5を公式に代入して、sin(α/2)を求めます。
sin(α/2) = ±√((1 – (-3/5))/2)
sin(α/2) = ±√((1 + 3/5)/2)
sin(α/2) = ±√(8/10)
sin(α/2) = ±√(4/5)
sin(α/2) = ±2/√5
αはπ/2 < α < πの範囲内なので、sin(α/2)は正の値になります。したがって、sin(α/2) = 2/√5です。
5. 結果の確認
最終的に求められたsin(α/2)の値は、2/√5となります。これで問題を解くための手順が完了しました。
6. まとめ
sinα = 4/5の条件からsin(α/2)を求めるには、三角関数の半角公式を用い、cosαを求めてからその値を代入することで解答を得ることができます。今回の問題では、最終的にsin(α/2) = 2/√5となりました。
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