n人を3つの教室に分ける方法：重複を避けた分け方の解説

この問題では、n人を3つの教室ABCに分ける方法を求めています。問題文にある通り、どの教室にも少なくとも1人の学生がいるように分ける必要があります。与えられた考え方に対して、なぜそれが間違いなのか、また正しい方法について解説します。

1. 与えられた方法の確認

まず、与えられた解法では、最初にそれぞれの教室に1人ずつ学生を割り当て、その後残りのn-3人を3つの教室に分けるという考え方が示されています。

具体的には、nP3 × 3^(n-3)という式を立てていますが、この方法は問題の条件に完全に合致していません。

まず、nP3はn人から3人を選ぶ順列を意味しており、この計算は最初にどの学生をどの教室に割り当てるかを決める部分ですが、この段階で「各教室に少なくとも1人」の条件を考慮していません。

次に、3^(n-3)の部分は、残りのn-3人を3つの教室に自由に分ける方法を示していますが、ここではどの教室にも必ず1人以上の学生が必要だという条件が無視されています。

正しい方法では、「各教室に少なくとも1人の学生を入れる」という条件を満たすために、最初にそれぞれの教室に1人ずつ学生を割り当てる必要があります。その後、残りの学生を教室に自由に分けます。

この場合、最初に1人ずつ学生を入れた後、残りの学生n-3人を3つの教室に分ける方法を考えます。この問題は「重複組合せ」を使用して解くことができます。教室に学生を分ける方法は、次のように計算できます。

n人の中から最初に3人を選んでそれぞれの教室に入れる方法は、nP3で求めます。その後、残りのn-3人を3つの教室に分ける方法は、重複組合せで3教室に分ける方法になります。これを計算すると、正しい式は次のようになります。

正しい式は、(nP3) × 3^(n-3) / 3!です。これにより、各教室に少なくとも1人の学生が入る条件を満たしつつ、残りの学生を分ける方法を計算できます。

この問題では、与えられた解法が「各教室に少なくとも1人の学生が入る」という条件を満たしていないため、誤った式になっています。正しい解法は、最初に各教室に1人ずつ学生を割り当て、その後残りの学生を分ける方法を計算するものです。重複組合せを使って、この問題を解くことができます。