実数xに対するy = 1/xの対応が関数である理由とは？

実数xに対してy = 1/xの対応が関数として成り立つのかについて考えることは、数学における基本的な概念であり、非常に重要な問題です。この記事では、y = 1/xが関数であるかどうかを明確に理解し、どのように定義されるのかを解説します。

関数の定義とは？

関数とは、ある集合の各要素に対して、ただ1つの対応する要素が決まる関係のことを指します。言い換えれば、xの値に対してyの値がただ1つ決まる場合、その関係は関数です。この定義に基づいて、y = 1/xが関数として成り立つかを考えてみましょう。

まず、関数を定義するには、各xに対してyがただ1つの値を取ることが必要です。つまり、xの値が1つ決まると、そのときのyの値も1つ決まらなければなりません。

y = 1/x の対応関係

y = 1/xという式では、xの値に対してyの値が決まります。例えば、x = 2のとき、y = 1/2となり、x = 3のときはy = 1/3となります。このように、xの値を与えると、それに対応するyの値が1つだけ決まります。

よって、y = 1/xの対応関係は、xの値が1つ決まると、それに対応するyの値もただ1つ決まるため、関数として成立します。しかし、x = 0のときは、1/xは定義されないため、x = 0を除外する必要があります。

y = 1/xが関数として定義されるための条件

y = 1/xを関数として定義するためには、x = 0のときに値が定まらないという点を考慮しなければなりません。x = 0の場合、1/0は定義できないため、x = 0は関数の定義域から除外されるべきです。

したがって、y = 1/xはx ≠ 0という条件の下で関数として成立します。このように、xが0以外の実数であれば、y = 1/xは1対1の対応関係を持つため、関数であると言えます。

y = 1/xのグラフとその特性

y = 1/xのグラフは、原点を中心に2つの曲線が対称的に広がる形になります。このグラフは、x = 0の位置で定義されていないことを示すように、x軸に接しません。実際、xが0に近づくにつれて、yの値は無限大またはマイナス無限大に発散します。

このグラフからも、x = 0が定義されないことが視覚的に確認できるため、y = 1/xが関数として成り立つ範囲は、x ≠ 0であることがわかります。

まとめ

y = 1/xは、x ≠ 0の範囲で関数として定義できます。これは、xに対してただ1つのyの値が対応し、x = 0のときには定義が存在しないため、関数として成立する範囲がx ≠ 0であることを示しています。数学における関数の定義を理解し、y = 1/xのような式が関数として成立する条件を確認することは、非常に重要です。