sin²25° + sin²65° の計算方法と三角関数の関係

数学の問題で、sin²25° + sin²65° の値を求める際、なぜ sin²65° を sin(90° – 25°) に変換する必要があるのか、その理由について詳しく解説します。三角関数の特性を理解し、この変換を使うことで計算を簡単にする方法を学びましょう。

三角関数の基本的な関係

三角関数には、角度の関係を使って他の角度に変換する特性があります。その中でも「補角の関係」が重要です。具体的には、sin(90° – θ) = cos(θ) という関係が成り立ちます。この関係を利用することで、計算が楽になる場合があります。

例えば、sin²65°を計算する際、65°は90° – 25°なので、sin(90° – 25°) と書き換えることができ、これはcos(25°)と同じになります。このように、sinとcosの関係を活用することで、計算を簡素化できます。

問題を解くために、sin²25° + sin²65°を分解して計算してみましょう。まず、sin²65°をsin(90° – 25°)に変換します。そうすると、sin²65°はcos²25°になります。

したがって、式は次のように変わります。

sin²25° + cos²25°

ここで、三角関数の基本公式「sin²θ + cos²θ = 1」を使用します。この公式により、sin²25° + cos²25°は1に等しいことがわかります。

sin²65°をsin(90° – 25°)に変換する理由は、補角の関係を利用することで計算を簡素化できるからです。直接的にsin²65°を計算するよりも、cos²25°として計算したほうが簡単であり、三角関数の性質をうまく活用することができます。

また、この変換を使うことで、計算の誤りを減らすことができ、より効率的に問題を解くことができます。

sin²25° + sin²65° の計算では、sin²65°をsin(90° – 25°)に変換することで、cos²25°として計算でき、最終的に1にたどり着くことがわかります。このように、三角関数の補角の関係を利用することで、計算を簡単にし、正確に解答を得ることができます。