数学において、式の次数を理解することは非常に重要です。特に、多項式同士の掛け算を行う際には、どのように次数が変化するのかを把握しておく必要があります。本記事では、2次式と3次式を掛け合わせた場合の次数について、実例を交えてわかりやすく解説します。
2次式とは？
2次式は、一般的にax^2 + bx + cという形で表されます。ここで、a、b、cは定数であり、xは変数です。2次式の特徴は、最高次数が2であることです。次数は、最も高いべき乗の数に対応しています。
例えば、式「2x^2 + 3x + 1」は2次式であり、その次数は2です。
3次式とは？
次に、3次式について見ていきましょう。3次式は一般的にax^3 + bx^2 + cx + dという形になります。ここでも、a、b、c、dは定数であり、xは変数です。3次式の特徴は、最高次数が3であることです。
例えば、式「x^3 – 4x^2 + 2x + 5」は3次式で、次数は3です。
2次式と3次式の掛け算
さて、2次式と3次式を掛け合わせた場合の次数について考えてみましょう。掛け算を行う際には、各項を順番に掛け算していきますが、重要なのは最も高いべき乗の数です。
例えば、次の式を考えます。
| (2x^2 + 3x + 1) | × | (x^3 – x^2 + 4) |
この掛け算を行うと、最高次数は2（2x^2）と3（x^3）を掛けた「2x^2 × x^3 = 2x^5」が最も高い項となります。このように、掛け算をした結果として、次数は5になります。
掛け算の一般的な法則
2つの多項式を掛け合わせた場合、次数はそれぞれの次数の合計になります。つまり、2次式（次数2）と3次式（次数3）を掛け合わせると、その結果の式の次数は「2 + 3 = 5」となります。
この法則は一般的に、多項式の次数を求める際に使用できます。掛け算した2つの式の次数を単純に足すことで、最終的な式の次数がわかります。
具体例：実際に式を展開してみよう
実際に計算してみると、掛け算の結果がどのように次数に影響するのかがわかりやすくなります。以下に2次式と3次式の掛け算の具体的な例を示します。
式：(2x^2 + 3x + 1) × (x^3 – x^2 + 4)
| 計算過程 | 結果 |
|---|---|
| 2x^2 × x^3 | 2x^5 |
| 2x^2 × (-x^2) | -2x^4 |
| 2x^2 × 4 | 8x^2 |
| 3x × x^3 | 3x^4 |
| 3x × (-x^2) | -3x^3 |
| 3x × 4 | 12x |
| 1 × x^3 | x^3 |
| 1 × (-x^2) | -x^2 |
| 1 × 4 | 4 |
この結果、最終的な式は「2x^5 + x^4 – 2x^4 – 3x^3 + 8x^2 – x^2 + 12x + 4」となります。これを整理すると、「2x^5 – x^4 – 3x^3 + 7x^2 + 12x + 4」となり、次数は5です。
まとめ
2次式と3次式を掛け合わせた場合、最終的な次数は2と3を足した5となります。これは、掛け算した際に最も高いべき乗の数が決まるためです。掛け算を行う際には、各項の次数をしっかりと確認することが重要です。この基本的なルールを覚えておくことで、多項式の計算をスムーズに進めることができます。
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