高校1年生の数学Aの確率問題について、赤玉と白玉が入った袋から玉を取り出し、赤玉が3回以上出る確率を求める方法を解説します。問題の中で、赤玉2個と白玉5個の袋から1回玉を取り出し、色を確認してから元に戻す試行を4回行います。この問題では、確率をどう計算するかがポイントとなります。
問題の理解と前提条件
問題文における前提条件を確認しましょう。袋の中には赤玉が2個、白玉が5個入っており、玉を取り出して色を確認した後に元に戻すという方法で試行を行います。試行は4回行われるため、4回中に赤玉が3回以上出る確率を求めることになります。
まず、赤玉が出る確率と白玉が出る確率を求めます。赤玉が出る確率は、袋の中に赤玉が2個、全体で7個の玉が入っているため、赤玉が出る確率は 2/7 となります。一方、白玉が出る確率は、白玉が5個、全体で7個の玉が入っているので、白玉が出る確率は 5/7 です。
確率の計算方法：二項分布
この問題は「二項分布」を使って解くことができます。二項分布は、n回の試行で成功がk回起こる確率を求める方法です。ここでは、4回の試行における赤玉が3回以上出る確率を求めるため、赤玉が出る確率を「成功」、白玉が出る確率を「失敗」と考えます。
二項分布の式は次のようになります：
P(k回成功) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)
ここで、nは試行回数、kは成功回数、pは成功確率、(nCk) は組み合わせの数です。
3回以上赤玉が出る確率の求め方
赤玉が3回以上出る確率は、赤玉がちょうど3回出る確率と、4回出る確率を足したものです。まず、赤玉が3回出る確率を求め、次に4回出る確率を求め、これらを合計します。
赤玉が3回出る確率は、次のように計算します：
P(3回成功) = (4C3) * (2/7)^3 * (5/7)^1
赤玉が4回出る確率は、次のように計算します：
P(4回成功) = (4C4) * (2/7)^4 * (5/7)^0
計算結果
それぞれの確率を計算すると、赤玉が3回出る確率と4回出る確率を足し合わせたものが求める確率になります。この計算を行うと、答えは約0.131となり、赤玉が3回以上出る確率は約13.1%であることが分かります。
まとめ
この問題は、二項分布を使用して確率を求める問題でした。赤玉が3回以上出る確率を求めるために、赤玉が3回出る確率と4回出る確率を計算し、これらを足し合わせることで解答を得ることができました。確率を求める際は、試行回数や成功確率、組み合わせをしっかりと理解することが重要です。
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