この問題では、5人の女子の50m競走のタイムが正規分布に従うと仮定したとき、信頼度95%で信頼区間を求める方法について説明します。与えられたタイムは 6, 7, 7, 7, 8 秒です。
1. データの準備
まず、与えられたデータを整理します。
- 6, 7, 7, 7, 8
このデータの平均値と標準偏差を計算します。
2. 平均値の計算
データの平均値 (x̄) は次の式で計算できます。
x̄ = (6 + 7 + 7 + 7 + 8) / 5 = 35 / 5 = 7
平均値は7秒です。
3. 標準偏差の計算
次に、標準偏差 (s) を計算します。標準偏差の式は次の通りです。
s = √[(Σ(x – x̄)²) / (n – 1)]
ここで、nはデータの数（5人）です。まず、各データと平均値の差を求め、その差を二乗して足し合わせます。
差の二乗: (6-7)² = 1, (7-7)² = 0, (7-7)² = 0, (7-7)² = 0, (8-7)² = 1
Σ(x – x̄)² = 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 2
s = √(2 / 4) = √0.5 ≈ 0.707
したがって、標準偏差は約0.707秒です。
4. 信頼区間の計算
信頼区間を求めるためには、t分布を使用します。信頼度95%の場合、自由度はn-1=4で、t値は約2.776です。信頼区間の式は次の通りです。
信頼区間 = x̄ ± t × (s / √n)
これを代入して計算します。
信頼区間 = 7 ± 2.776 × (0.707 / √5)
信頼区間 = 7 ± 2.776 × 0.316 ≈ 7 ± 0.878
したがって、信頼区間は (6.122, 7.878) 秒です。
5. まとめ
この問題では、正規分布に従うデータから、信頼度95%でタイムの信頼区間を求めました。信頼区間は (6.122, 7.878) 秒となり、この範囲内で50m競走のタイムが95%の確率であると予測できます。
コメント