二次関数の最小値や最大値を求める際、定義域の中央の値を使う理由について、上に凸のときと下に凸のときそれぞれのケースに分けて解説します。二次関数はそのグラフの形によって、最小値や最大値の求め方が異なります。これを理解することで、問題を効果的に解くことができます。
上に凸の場合の最小値の求め方
上に凸の二次関数は、グラフがU字型になります。定義域が区間[a, b]で与えられたとき、この関数の最小値は、頂点で求めることができます。頂点のx座標は、x = -b / 2a という公式で計算できます。定義域の中央に位置するxの値が、この頂点の座標と一致するため、中央の値を使って最小値を求めることができます。
下に凸の場合の最大値の求め方
下に凸の二次関数は、グラフが逆U字型になります。定義域が区間[a, b]で与えられたとき、この関数の最大値も頂点で求めることができます。頂点のx座標は、x = -b / 2a という公式で計算できます。上に凸の場合と同様、定義域の中央の値が頂点のx座標に対応するため、中央の値を使って最大値を求めることができます。
定義域の中央の値を使う理由
定義域の中央の値を使う理由は、二次関数の頂点が常にその関数の最小値または最大値を示すからです。上に凸の場合、頂点は最小値を示し、下に凸の場合、頂点は最大値を示します。したがって、定義域の中央を使うことで、計算が簡単になり、効率よく解答を得ることができます。
実際の問題での適用例
例えば、関数 f(x) = 2x² + 4x – 3 の最小値を求める場合、この関数は上に凸です。x = -b / 2a を使って、頂点のx座標を計算します。ここでは a = 2、b = 4 ですので、x = -4 / (2 × 2) = -1 となり、定義域の中央がx = -1に対応します。この値を使って、最小値を計算できます。
まとめ
上に凸と下に凸の二次関数において、最小値や最大値を求める際に定義域の中央の値を使用する理由は、頂点がその最小値または最大値を示すからです。この方法を理解することで、二次関数の問題を効率的に解くことができるようになります。
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