集合の共通部分と差集合の関係：n(A∩‾B) = n(A) − n(A∩B) の理由

高1の数学で登場する集合の演算の中でも、共通部分と補集合を理解することは非常に重要です。特に、「n(A∩‾B) = n(A) − n(A∩B)」という式について混乱することがあります。この記事では、この式がなぜ成り立つのか、具体的な例を交えて解説します。

集合演算の基本：共通部分と補集合

まず、集合に関する基本的な定義を確認しましょう。集合AとBの共通部分、A∩Bは、AにもBにも含まれる要素の集合を指します。また、Aの補集合、‾Bは、Bに含まれないすべての要素の集合です。

式「n(A∩‾B)」は、集合Aの中で、Bに含まれていない要素の個数を求める式です。これを理解するためには、まず「A∩B」とは何かをしっかり押さえた上で、どの要素が「A∩‾B」に該当するのかを考えます。

式「n(A∩‾B)」は、「Aに含まれ、かつBに含まれない要素の個数」を意味します。つまり、Aの中でBに含まれていない要素だけを数えることになります。これを求めるためには、まずA全体の要素数から、AとBの共通部分の要素数（n(A∩B)）を引くことで求めることができます。

したがって、n(A∩‾B) = n(A) − n(A∩B) という式が成り立ちます。これにより、Aの中でBに含まれない要素数を効率的に計算することができるのです。

例を用いてこの式を具体的に理解してみましょう。例えば、集合A = {1, 2, 3, 4, 5} と集合B = {3, 4, 5, 6, 7} があるとします。この場合、AとBの共通部分は A∩B = {3, 4, 5} です。

ここで、n(A)はAの要素数、つまり5です。n(A∩B)はAとBの共通部分の要素数、つまり3です。したがって、n(A∩‾B)は、Aの要素数から共通部分を引いたもの、つまり 5 − 3 = 2 となります。この場合、A∩‾B = {1, 2} となり、2つの要素が含まれていることが確認できます。

n(A∩‾B) を求めるために、n(A) から n(A∩B) を引く理由は、Aの中にある「Bに含まれない要素」を特定するためです。Aの要素全体から、AとBが共通に持つ要素を引くことで、残りのAの要素だけを数えることができるからです。

このように、共通部分を引くことによって、Bに含まれない部分のみが残ります。これを「差集合」と呼び、集合の演算において非常に重要な操作です。

式「n(A∩‾B) = n(A) − n(A∩B)」は、集合Aの中でBに含まれない要素の個数を求めるための簡単で効率的な方法です。Aの全体から、AとBの共通部分の要素を引くことで、求めたい部分集合を簡単に計算することができます。

この概念をしっかりと理解することで、集合に関するさまざまな計算がスムーズに進むようになります。しっかりとした理解を深め、他の集合演算と組み合わせて活用していきましょう。