論理学の命題「A→B」の証明とその逆の関係について解説

このページでは、論理学における命題「A→B」の証明と、その逆命題に関する疑問について解説します。特に、「A→B」が証明できるときに、「Aが証明できるならば、Bも証明できる」が成立することと、その逆が成立するかどうかに焦点を当てます。

1. 論理命題「A→B」とは？

まず、論理学における「A→B」という命題について理解することが重要です。これは「Aが成立すればBも成立する」といった意味を持ちます。形式的に言うと、「Aが真であればBも真である」という関係です。

この命題が「証明できる」とは、Aが真であるならば、Bも必ず真であることを証明できるということを意味します。

2. 「A→B」を証明した場合の逆命題

次に、「A→B」が証明できた場合に、「Aが証明できるならば、Bも証明できる」という命題が証明できる理由について考えます。

実際に、「A→B」が証明できれば、Aが真であれば必ずBも真であるという関係が成立するため、「Aが証明できるならば、Bも証明できる」という命題も成立することになります。

3. 逆命題の成立性

では、「Aが証明できるならば、Bも証明できる」ならば、「A→B」が証明できるかどうかについて考えてみましょう。

これは必ずしも成立するわけではありません。「Aが証明できるからBも証明できる」という命題が成立しても、AからBへの論理的な結びつきが常に成り立つとは限りません。そのため、「Aが証明できるならばBも証明できる」という命題が成立しても、「A→B」の証明が可能かどうかは別の問題です。

4. まとめ

結論として、「A→B」が証明できるならば、「Aが証明できるならばBも証明できる」は成立します。しかし、その逆命題、すなわち「Aが証明できるならば、Bも証明できる」ならば「A→B」が証明できるわけではないことに留意する必要があります。この点を理解することで、論理学の命題の証明における微妙な違いをしっかりと把握できるようになります。