今回は、微分方程式 dz/dt = kz – k² + 2 の任意の解 z = z(t) が t → ∞ のときに定数 1 に収束する条件を求める問題を解説します。この問題では、微分方程式の解がどのように収束するか、またそのための定数 k の値を導き出す方法について詳しく説明します。
1. 微分方程式の整理
まず、与えられた微分方程式 dz/dt = kz – k² + 2 を整理します。この式は、z の時間 t に対する変化率を示しています。
式の右辺に注目すると、k と z に関する項が含まれていることがわかります。これを解くためには、微分方程式を解く一般的な方法を用いて進めます。
2. 定常解の導出
微分方程式の解が t → ∞ のときに定数 1 に収束するという条件を満たすためには、z(t) が t が大きくなるときに収束する必要があります。
t → ∞ のとき、dz/dt = 0 になることが想定されます。つまり、定常状態では z の変化率が 0 であるため、次のように設定します。
0 = kz - k² + 2
この式を z について解くと、定常解を求めることができます。
3. 定常解から収束条件を求める
上記の式 0 = kz – k² + 2 を z について解くと、z は次のように表されます。
z = (k² - 2) / k
ここで、z が t → ∞ のときに 1 に収束する条件を考えます。つまり、z の値が 1 になるような k の値を求めます。
z = 1 となるためには、次の式が成り立つ必要があります。
1 = (k² - 2) / k
この式を解くと、k の値が求められます。
4. k の値を求める
上記の式を解くことで、k の値を求めることができます。まず、両辺を k で掛けて整理します。
k = k² - 2
この式を整理して、k² – k – 2 = 0 という二次方程式が得られます。この二次方程式を解くと、k の値は次のように求められます。
k = 2 または k = -1
したがって、k = 2 または k = -1 の場合、z(t) は t → ∞ のときに 1 に収束します。
5. まとめ
微分方程式 dz/dt = kz – k² + 2 の解が t → ∞ のときに定数 1 に収束するためには、定数 k の値が 2 または -1 である必要があります。このように、微分方程式の解を求める過程では、定常解を導き出し、その解が収束する条件を求めることが重要です。
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