d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) が距離となるかどうかの証明

この問題では、与えられた関数 d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) が距離の定義を満たすかどうかを確認する必要があります。距離の定義に従って、この関数が距離関数となるのか、または距離関数でない場合にはその理由を説明します。

距離関数の定義

まず、距離関数（または距離）の定義は次の4つの条件を満たす必要があります。

• 非負性: d(x, y) ≥ 0
• 同一性: d(x, y) = 0 ⇔ x = y
• 対称性: d(x, y) = d(y, x)
• 三角不等式: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

非負性の確認

d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) ですので、分子は絶対値のため常に非負です。また、分母も 1 + |x| + |y| として常に正の値を持つため、この関数は非負です。

同一性の確認

d(x, y) = 0 となるのは、分子 |x – y| が 0 のときです。したがって、x = y のときに d(x, y) = 0 となります。このため、同一性の条件も満たします。

対称性の確認

d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) は絶対値関数であり、絶対値は対称性を持つため、d(x, y) = d(y, x) が成り立ちます。したがって、対称性も満たされます。

三角不等式の確認

三角不等式を確認するためには、次の不等式が成り立つことを示さなければなりません。

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

これを証明するためには、具体的な計算や不等式の操作が必要です。三角不等式が成り立つかどうかを確認するには、分子と分母の関係を細かく調べる必要がありますが、一般的にはこの関数が三角不等式を満たすためには追加の条件が必要です。例えば、不等式が成り立たない場合があるため、d(x, y) は距離関数の条件をすべて満たさない可能性があります。

結論

d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) は距離関数の定義の条件をすべて満たすわけではありません。具体的に、三角不等式を満たすかどうかを確認する必要があり、一般的な場合には距離関数として認められないことがわかります。